Подготовка к экзамену «Элементы высшей математики» · Вопросы №1–3 · 50 задач
Пусть функция \(y=f(x)\) определена в некоторой окрестности точки \(x_0\). Дадим аргументу приращение \(\Delta x\); тогда функция получит приращение \(\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\).
Определение. Производной функции \(f\) в точке \(x_0\) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю (если этот предел существует и конечен):
\[ f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}. \]Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке; при этом она обязательно непрерывна в ней (обратное неверно: например, \(y=|x|\) непрерывна в нуле, но не дифференцируема).
Механический смысл. Если \(s=s(t)\) — закон движения точки (путь как функция времени), то производная \(s'(t)\) равна мгновенной скорости в момент \(t\): \(v(t)=s'(t)\); вторая производная даёт ускорение: \(a(t)=v'(t)=s''(t)\).
Геометрический смысл. \(f'(x_0)=\operatorname{tg}\alpha\) — угловой коэффициент касательной к графику функции в точке \((x_0;\,f(x_0))\).
| Функция | Производная | Функция | Производная |
|---|---|---|---|
| \(y=C\) (константа) | \(y'=0\) | \(y=\sin x\) | \(y'=\cos x\) |
| \(y=x\) | \(y'=1\) | \(y=\cos x\) | \(y'=-\sin x\) |
| \(y=x^{\alpha}\) | \(y'=\alpha x^{\alpha-1}\) | \(y=\operatorname{tg} x\) | \(y'=\dfrac{1}{\cos^2 x}\) |
| \(y=\sqrt{x}\) | \(y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(y=\operatorname{ctg} x\) | \(y'=-\dfrac{1}{\sin^2 x}\) |
| \(y=\dfrac{1}{x}\) | \(y'=-\dfrac{1}{x^{2}}\) | \(y=\arcsin x\) | \(y'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\) |
| \(y=a^{x}\) | \(y'=a^{x}\ln a\) | \(y=\arccos x\) | \(y'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\) |
| \(y=e^{x}\) | \(y'=e^{x}\) | \(y=\operatorname{arctg} x\) | \(y'=\dfrac{1}{1+x^{2}}\) |
| \(y=\log_a x\) | \(y'=\dfrac{1}{x\ln a}\) | \(y=\operatorname{arcctg} x\) | \(y'=-\dfrac{1}{1+x^{2}}\) |
| \(y=\ln x\) | \(y'=\dfrac{1}{x}\) |
Пусть функции \(u=u(x)\) и \(v=v(x)\) дифференцируемы, \(C\) — константа. Тогда:
1) вынесение константы: \((C\,u)'=C\,u'\);
2) производная суммы (разности): \((u\pm v)'=u'\pm v'\);
3) производная произведения: \((u\,v)'=u'v+u\,v'\);
4) производная частного (при \(v(x)\neq 0\)): \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-u\,v'}{v^{2}}\).
Теорема. Если функция \(u=\varphi(x)\) дифференцируема в точке \(x\), а функция \(y=f(u)\) дифференцируема в соответствующей точке \(u=\varphi(x)\), то сложная функция \(y=f(\varphi(x))\) дифференцируема в точке \(x\), причём
\[ y'_x = f'(u)\cdot \varphi'(x), \qquad \text{т.е.}\qquad y'_x = y'_u\cdot u'_x. \]Кратко: производная сложной функции равна произведению производной внешней функции (по промежуточному аргументу) на производную внутренней функции. Правило распространяется на любое число «слоёв»: \(y'_x=y'_u\cdot u'_v\cdot v'_x\).
Пример 1. Производная по определению.
Найти по определению производную функции \(y=x^{2}\).
Шаг 1. Приращение функции: \(\Delta y=(x+\Delta x)^{2}-x^{2}=2x\,\Delta x+(\Delta x)^{2}\).
Шаг 2. Отношение приращений: \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=2x+\Delta x\).
Шаг 3. Предел: \(y'=\lim\limits_{\Delta x\to 0}(2x+\Delta x)=2x\).
Аналогично для \(y=\sqrt{x}\) (при \(x>0\)):
\[ y'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x} =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)-x}{\Delta x\left(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}\right)} =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}. \]Пример 2. Правила произведения и частного.
Найти производную функции \(y=x^{2}\ln x\) и функции \(y=\dfrac{\sin x}{x}\).
а) По правилу произведения, \(u=x^{2}\), \(v=\ln x\):
\[ y'=(x^{2})'\ln x + x^{2}(\ln x)' = 2x\ln x + x^{2}\cdot\frac{1}{x} = 2x\ln x + x = x\,(2\ln x+1). \]б) По правилу частного, \(u=\sin x\), \(v=x\):
\[ y'=\frac{(\sin x)'\cdot x-\sin x\cdot (x)'}{x^{2}}=\frac{x\cos x-\sin x}{x^{2}}. \]Пример 3. Многослойная сложная функция.
Найти производную функции \(y=\ln^{3}(\cos 2x)\).
Шаг 1. Выделим «слои»: \(y=u^{3}\), где \(u=\ln v\), \(v=\cos w\), \(w=2x\).
Шаг 2. Дифференцируем послойно, от внешнего слоя к внутреннему:
\[ y'=3\ln^{2}(\cos 2x)\cdot\bigl(\ln(\cos 2x)\bigr)' =3\ln^{2}(\cos 2x)\cdot\frac{1}{\cos 2x}\cdot(\cos 2x)'. \]Шаг 3. \((\cos 2x)'=-\sin 2x\cdot(2x)'=-2\sin 2x\). Собираем результат:
\[ y'=3\ln^{2}(\cos 2x)\cdot\frac{-2\sin 2x}{\cos 2x}=-6\,\operatorname{tg}2x\cdot\ln^{2}(\cos 2x). \]