Подготовка к экзамену «Элементы высшей математики» · Вопрос №4 · 50 задач
Пусть функция \(y=f(x)\) дифференцируема в точке \(x_0\). Касательной к графику функции в точке \(M_0(x_0;\,f(x_0))\) называется предельное положение секущей \(M_0M\), когда точка \(M\) графика стремится к \(M_0\).
Геометрический смысл производной: производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой точке, то есть тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси \(Ox\):
\[ f'(x_0)=k=\operatorname{tg}\alpha. \]Если \(f'(x_0)>0\), то угол \(\alpha\) острый (функция в точке возрастает); если \(f'(x_0)<0\), то угол \(\alpha\) тупой (функция убывает); если \(f'(x_0)=0\), то касательная горизонтальна.
Нормалью к графику функции в точке \(M_0\) называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. Так как для перпендикулярных прямых \(k_1\cdot k_2=-1\), угловой коэффициент нормали равен \(-\dfrac{1}{f'(x_0)}\) (при \(f'(x_0)\ne 0\)).
Уравнение касательной к графику \(y=f(x)\) в точке \(x_0\):
\[ y=f(x_0)+f'(x_0)\,(x-x_0). \]Уравнение нормали (при \(f'(x_0)\ne 0\)):
\[ y=f(x_0)-\frac{1}{f'(x_0)}\,(x-x_0). \]Особые случаи. Если \(f'(x_0)=0\), то касательная горизонтальна: \(y=f(x_0)\), а нормаль вертикальна: \(x=x_0\). Если же \(f'(x_0)=\infty\) (например, для \(y=\sqrt[3]{x}\) в точке \(x_0=0\)), то касательная вертикальна: \(x=x_0\), а нормаль горизонтальна: \(y=f(x_0)\).
| Случай | Касательная | Нормаль |
|---|---|---|
| \(f'(x_0)\ne 0\), конечна | \(y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\) | \(y=f(x_0)-\dfrac{x-x_0}{f'(x_0)}\) |
| \(f'(x_0)=0\) | \(y=f(x_0)\) | \(x=x_0\) |
| \(f'(x_0)=\infty\) | \(x=x_0\) | \(y=f(x_0)\) |
Углом между двумя кривыми в точке их пересечения называется угол между касательными к кривым, проведёнными в этой точке. Если \(k_1\) и \(k_2\) — угловые коэффициенты касательных, то
\[ \operatorname{tg}\varphi=\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1 k_2}\right|. \]При \(k_1k_2=-1\) кривые пересекаются под прямым углом (ортогонально).
Если материальная точка движется по закону \(s=s(t)\), то мгновенная скорость есть производная пути по времени, а ускорение — производная скорости (вторая производная пути):
\[ v(t)=s'(t),\qquad a(t)=v'(t)=s''(t). \]В общем случае производная \(f'(x_0)\) — это скорость изменения функции \(f(x)\) в точке \(x_0\).
Пример 1. Касательная и нормаль в заданной точке.
Составить уравнения касательной и нормали к графику функции \(y=x^2-3x+2\) в точке с абсциссой \(x_0=2\).
Шаг 1. Находим ординату точки касания: \(f(2)=4-6+2=0\). Точка касания \(M_0(2;0)\).
Шаг 2. Находим производную: \(f'(x)=2x-3\), значит \(f'(2)=4-3=1\). Угловой коэффициент касательной \(k=1\) (угол наклона \(\alpha=45^\circ\)).
Шаг 3. Уравнение касательной: \(y=0+1\cdot(x-2)\), то есть \[y=x-2.\]
Шаг 4. Уравнение нормали: \(y=0-\dfrac{1}{1}(x-2)\), то есть \[y=-x+2.\]
Пример 2. Касательная, параллельная заданной прямой.
К графику функции \(y=x^3-3x+1\) провести касательную, параллельную прямой \(y=9x-2\).
Шаг 1. Условие параллельности: угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой, то есть \(f'(x_0)=9\).
Шаг 2. \(f'(x)=3x^2-3\). Решаем уравнение \(3x_0^2-3=9\), откуда \(x_0^2=4\), \(x_0=\pm 2\).
Шаг 3. При \(x_0=2\): \(f(2)=8-6+1=3\), касательная \(y=3+9(x-2)\), то есть \(y=9x-15\).
Шаг 4. При \(x_0=-2\): \(f(-2)=-8+6+1=-1\), касательная \(y=-1+9(x+2)\), то есть \(y=9x+17\).
Ответ: \(y=9x-15\) и \(y=9x+17\).
Пример 3. Физическая задача.
Точка движется прямолинейно по закону \(s(t)=t^3-6t^2+9t\) (путь — в метрах, время — в секундах). Найти скорость и ускорение в момент \(t=3\) с и моменты времени, когда скорость равна нулю.
Шаг 1. Скорость: \(v(t)=s'(t)=3t^2-12t+9\). При \(t=3\): \(v(3)=27-36+9=0\) м/с.
Шаг 2. Ускорение: \(a(t)=v'(t)=6t-12\). При \(t=3\): \(a(3)=18-12=6\) м/с\(^2\).
Шаг 3. Скорость равна нулю: \(3t^2-12t+9=0\;\Leftrightarrow\;t^2-4t+3=0\), откуда \(t=1\) с и \(t=3\) с. В эти моменты точка меняет направление движения.