Подготовка к экзамену «Элементы высшей математики» · Вопрос №5 · 50 задач
Логарифмической производной функции \( y = y(x) \) называется производная от натурального логарифма её модуля:
Приём логарифмического дифференцирования: обе части равенства \( y = f(x) \) логарифмируем, затем дифференцируем полученное равенство по \( x \) (слева получается \( y'/y \)), и наконец выражаем \( y' \), умножая результат на исходную функцию \( y \).
Когда применять:
1) для степенно-показательных функций вида \( y = u(x)^{\,v(x)} \), где и основание, и показатель зависят от \( x \) (например, \( x^x \), \( (\sin x)^{\cos x} \)); обычные формулы для степенной и показательной функций здесь по отдельности неприменимы;
2) для громоздких произведений, частных и корней: логарифм превращает произведение в сумму, частное — в разность, степень и корень — в множитель, что резко упрощает дифференцирование.
Пусть функция \( y = y(x) \) задана неявно уравнением
Правило: дифференцируем обе части уравнения по \( x \), помня, что \( y \) — функция от \( x \) (поэтому, например, \( (y^2)' = 2y\,y' \), \( (\sin y)' = y'\cos y \), \( (xy)' = y + x y' \)). Из полученного равенства выражаем \( y' \). Как правило, \( y' \) выражается через обе переменные \( x \) и \( y \).
Для нахождения второй производной \( y'' \) полученное равенство (или выражение для \( y' \)) дифференцируем по \( x \) ещё раз, снова считая \( y \) функцией от \( x \), и подставляем найденное ранее \( y' \). Часто результат упрощается с помощью исходного уравнения кривой.
Пусть функция задана параметрически: \( x = x(t) \), \( y = y(t) \), где \( x(t), y(t) \) дифференцируемы и \( x'_t \neq 0 \). Тогда
То есть первая производная по \( x \) равна отношению производных по параметру; вторая производная получается дифференцированием уже найденной функции \( y'_x(t) \) по параметру \( t \) с последующим делением на \( x'_t \). Обе производные, как правило, выражаются через параметр \( t \).
| Способ задания | Ключевая формула | Типичная запись ответа |
|---|---|---|
| Степенно-показательная \( y=u^v \) | \( \dfrac{y'}{y} = (v\ln u)' \) | \( y' = u^v\!\left(v'\ln u + \dfrac{v u'}{u}\right) \) |
| Неявная \( F(x,y)=0 \) | дифференцируем обе части, \( y=y(x) \) | \( y' = y'(x,\,y) \) |
| Параметрическая \( x=x(t),\ y=y(t) \) | \( y'_x = \dfrac{y'_t}{x'_t} \), \( y''_{xx} = \dfrac{(y'_x)'_t}{x'_t} \) | \( y'_x = y'_x(t) \) |
Пример 1. Найти \( y' \), если \( y = (\cos x)^{\sin x} \).
Шаг 1. Функция степенно-показательная — логарифмируем обе части (\( \cos x > 0 \)): \[ \ln y = \sin x \cdot \ln\cos x. \]
Шаг 2. Дифференцируем обе части по \( x \); слева — логарифмическая производная \( y'/y \), справа — производная произведения: \[ \frac{y'}{y} = \cos x \cdot \ln\cos x + \sin x \cdot \frac{-\sin x}{\cos x} = \cos x\,\ln\cos x - \frac{\sin^2 x}{\cos x}. \]
Шаг 3. Умножаем на \( y = (\cos x)^{\sin x} \): \[ y' = (\cos x)^{\sin x}\left( \cos x\,\ln\cos x - \frac{\sin^2 x}{\cos x} \right). \]
Пример 2. Функция \( y(x) \) задана неявно уравнением \( x^2 + xy + y^2 = 3 \). Найти \( y' \) и \( y'' \).
Шаг 1. Дифференцируем обе части по \( x \), считая \( y = y(x) \): \[ 2x + (y + x y') + 2y\,y' = 0. \]
Шаг 2. Группируем слагаемые с \( y' \) и выражаем его: \[ y'(x + 2y) = -(2x + y) \quad\Longrightarrow\quad y' = -\frac{2x + y}{x + 2y}. \]
Шаг 3. Дифференцируем равенство шага 1 ещё раз по \( x \): \[ 2 + y' + y' + x y'' + 2(y')^2 + 2y\,y'' = 0 \quad\Longrightarrow\quad y'' = -\frac{2\bigl(1 + y' + (y')^2\bigr)}{x + 2y}. \]
Шаг 4. Подставляем \( y' = -\dfrac{2x+y}{x+2y} \) и приводим к общему знаменателю: \[ 1 + y' + (y')^2 = \frac{(x+2y)^2 - (2x+y)(x+2y) + (2x+y)^2}{(x+2y)^2} = \frac{3\bigl(x^2 + xy + y^2\bigr)}{(x+2y)^2} = \frac{9}{(x+2y)^2}, \] где использовано уравнение кривой \( x^2+xy+y^2 = 3 \). Окончательно \[ y'' = -\frac{18}{(x+2y)^3}. \]
Пример 3. Найти \( y'_x \) и \( y''_{xx} \) для функции, заданной параметрически: \( x = \cos t \), \( y = \sin^2 t \).
Шаг 1. Производные по параметру: \[ x'_t = -\sin t, \qquad y'_t = 2\sin t\cos t. \]
Шаг 2. Первая производная: \[ y'_x = \frac{y'_t}{x'_t} = \frac{2\sin t\cos t}{-\sin t} = -2\cos t. \]
Шаг 3. Вторая производная — дифференцируем \( y'_x = -2\cos t \) по \( t \) и делим на \( x'_t \): \[ y''_{xx} = \frac{(y'_x)'_t}{x'_t} = \frac{2\sin t}{-\sin t} = -2. \]
Проверка. Исключая параметр: \( y = \sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - x^2 \), откуда \( y' = -2x = -2\cos t \) и \( y'' = -2 \). Результаты совпадают.