Подготовка к экзамену «Элементы высшей математики» · Вопросы №6–7 · 50 задач
Пусть функция \(y=f(x)\) дифференцируема в точке \(x\). Тогда её приращение можно представить в виде \[\Delta y = f(x+\Delta x)-f(x) = f'(x)\,\Delta x + \alpha(\Delta x)\cdot \Delta x,\] где \(\alpha(\Delta x)\to 0\) при \(\Delta x\to 0\). Главная, линейная относительно \(\Delta x\) часть приращения называется дифференциалом функции.
Дифференциал функции \(y=f(x)\) в точке \(x\): \[dy = f'(x)\,\Delta x.\] Так как для функции \(y=x\) имеем \(dy=dx=\Delta x\), то дифференциал независимой переменной равен её приращению, и окончательно \[\boxed{\,dy = f'(x)\,dx\,}\qquad\Longrightarrow\qquad f'(x)=\dfrac{dy}{dx}.\]
Из равенства \(\Delta y = dy + \alpha(\Delta x)\,\Delta x\) следует, что при малых \(\Delta x\) разность \(\Delta y - dy\) есть бесконечно малая более высокого порядка, чем \(\Delta x\):
Именно эта близость и лежит в основе применения дифференциала к приближённым вычислениям.
Пусть \(u=u(x)\), \(v=v(x)\) — дифференцируемые функции, \(C\) — постоянная.
| Свойство | Формула |
|---|---|
| Дифференциал постоянной | \(dC = 0\) |
| Линейность | \(d(u\pm v)=du\pm dv,\qquad d(Cu)=C\,du\) |
| Дифференциал произведения | \(d(uv)=v\,du+u\,dv\) |
| Дифференциал частного | \(d\!\left(\dfrac{u}{v}\right)=\dfrac{v\,du-u\,dv}{v^2},\quad v\neq 0\) |
Инвариантность формы первого дифференциала. Если \(y=f(u)\), а \(u=\varphi(x)\) — дифференцируемая функция, то \[dy = f'(u)\,du,\] т.е. формула дифференциала сохраняет свой вид независимо от того, является ли аргумент \(u\) независимой переменной или функцией другой переменной. (Для дифференциалов высших порядков это свойство, вообще говоря, не выполняется.)
Проведём касательную к графику функции \(y=f(x)\) в точке \(M_0(x_0;\,f(x_0))\). Её угловой коэффициент равен \(f'(x_0)=\operatorname{tg}\alpha\). При переходе от абсциссы \(x_0\) к абсциссе \(x_0+\Delta x\) ордината касательной получает приращение \(\operatorname{tg}\alpha\cdot\Delta x = f'(x_0)\,\Delta x = dy\).
Геометрический смысл: дифференциал \(dy\) равен приращению ординаты касательной, проведённой к графику функции в точке \(x_0\), при изменении аргумента на \(\Delta x\). При этом \(\Delta y\) — приращение ординаты самой кривой, и \(\Delta y\approx dy\) при малых \(\Delta x\).
Заменяя \(\Delta y\) на \(dy\), получаем основную формулу приближённых вычислений:
Частные случаи (при малых \(\alpha\), \(\alpha\) в радианах): \[\sqrt{1+\alpha}\approx 1+\frac{\alpha}{2},\qquad (1+\alpha)^n\approx 1+n\alpha,\qquad \sin\alpha\approx\alpha,\qquad \ln(1+\alpha)\approx\alpha.\]
Точку \(x_0\) выбирают так, чтобы значения \(f(x_0)\) и \(f'(x_0)\) вычислялись просто, а \(\Delta x\) было малым.
Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от первого дифференциала: \(d^2y=d(dy)\). Если \(x\) — независимая переменная, то \[d^2y=f''(x)\,dx^2,\qquad d^3y=f'''(x)\,dx^3,\qquad d^ny=f^{(n)}(x)\,dx^n,\] где \(dx^2=(dx)^2\). Отсюда \(f''(x)=\dfrac{d^2y}{dx^2}\).
Пример 1. Найти дифференциал функции \(y=x^3\ln x\).
Находим производную по правилу произведения: \[y'=(x^3)'\ln x + x^3(\ln x)'=3x^2\ln x + x^3\cdot\frac{1}{x}=3x^2\ln x + x^2 = x^2(3\ln x+1).\] Следовательно, \[dy = y'\,dx = x^2(3\ln x+1)\,dx.\]
Пример 2. Вычислить приближённо \(\sqrt{4{,}02}\).
Рассмотрим функцию \(f(x)=\sqrt{x}\). Возьмём \(x_0=4\) (значение \(\sqrt{4}=2\) известно точно), тогда \(\Delta x=0{,}02\).
Производная: \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\), поэтому \(f'(4)=\dfrac{1}{2\cdot 2}=0{,}25\).
По формуле \(f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\,\Delta x\): \[\sqrt{4{,}02}\approx 2 + 0{,}25\cdot 0{,}02 = 2 + 0{,}005 = 2{,}005.\] Ответ: \(\sqrt{4{,}02}\approx 2{,}005\) (точное значение \(2{,}004993\ldots\)).
Пример 3. Найти \(d^2y\) для функции \(y=e^{2x}+\cos x\).
Первая производная: \(y'=2e^{2x}-\sin x\).
Вторая производная: \(y''=4e^{2x}-\cos x\).
Так как \(x\) — независимая переменная, то \[d^2y=y''\,dx^2=\bigl(4e^{2x}-\cos x\bigr)\,dx^2.\]