Подготовка к экзамену «Элементы высшей математики» · Вопрос №8 · 50 задач
Пусть функция \(f(x)\) непрерывна на промежутке и дифференцируема внутри него. Знак производной определяет характер монотонности.
Признак монотонности:
если \(f'(x)>0\) на интервале \((a;b)\), то \(f(x)\) возрастает на этом интервале;
если \(f'(x)<0\) на интервале \((a;b)\), то \(f(x)\) убывает на этом интервале.
Для нахождения интервалов монотонности находят производную, определяют точки, где \(f'(x)=0\) или не существует, и исследуют знак \(f'(x)\) на полученных интервалах.
Критические точки — внутренние точки области определения, в которых \(f'(x)=0\) или \(f'(x)\) не существует. Точки, где \(f'(x)=0\), называют также стационарными.
Необходимое условие экстремума (теорема Ферма): если \(x_0\) — точка экстремума и в ней существует производная, то \(f'(x_0)=0\).
Обратное неверно: например, у \(y=x^3\) в точке \(x=0\) производная равна нулю, но экстремума нет. Поэтому нужны достаточные условия.
Первое достаточное условие: если при переходе через критическую точку \(x_0\) производная меняет знак с «\(+\)» на «\(-\)», то \(x_0\) — точка максимума; если с «\(-\)» на «\(+\)» — точка минимума. Если знак не меняется, экстремума нет.
Второе достаточное условие: пусть \(f'(x_0)=0\) и существует \(f''(x_0)\ne 0\). Тогда:
если \(f''(x_0)<0\), то \(x_0\) — точка максимума;
если \(f''(x_0)>0\), то \(x_0\) — точка минимума.
Непрерывная на отрезке \([a;b]\) функция достигает на нём наибольшего и наименьшего значений (теорема Вейерштрасса) — либо в критических точках, либо на концах отрезка.
Алгоритм:
1) найти \(f'(x)\) и критические точки функции;
2) отобрать критические точки, принадлежащие интервалу \((a;b)\);
3) вычислить значения функции в отобранных точках и на концах: \(f(a)\), \(f(b)\);
4) из полученных чисел выбрать наибольшее \(\max\limits_{[a;b]} f(x)\) и наименьшее \(\min\limits_{[a;b]} f(x)\).
Если \(f''(x)<0\) на интервале, то график функции выпуклый вверх (выпуклый);
если \(f''(x)>0\) на интервале, то график выпуклый вниз (вогнутый).
Точка перегиба — точка графика, при переходе через которую направление выпуклости меняется; в ней \(f''(x)=0\) или \(f''(x)\) не существует, а знак \(f''\) при переходе меняется.
Вертикальная асимптота \(x=a\): хотя бы один из односторонних пределов бесконечен, \(\lim\limits_{x\to a^\pm} f(x)=\pm\infty\) (обычно \(a\) — точка разрыва второго рода).
Горизонтальная асимптота \(y=b\): \(\lim\limits_{x\to\pm\infty} f(x)=b\).
Наклонная асимптота \(y=kx+b\), где
\[ k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x},\qquad b=\lim_{x\to\pm\infty}\bigl(f(x)-kx\bigr). \]Если оба предела конечны (и \(k\ne 0\)), наклонная асимптота существует; при \(k=0\) получаем горизонтальную асимптоту.
1) Найти область определения функции.
2) Исследовать на чётность/нечётность и периодичность.
3) Найти точки пересечения графика с осями координат.
4) Найти точки разрыва и асимптоты (вертикальные, горизонтальные, наклонные).
5) Найти \(f'(x)\), интервалы монотонности и точки экстремума, вычислить значения в экстремумах.
6) Найти \(f''(x)\), интервалы выпуклости и точки перегиба.
7) При необходимости вычислить дополнительные точки и построить график.
Пример 1. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции \(y=x^3-3x^2\).
Область определения — вся числовая прямая. Находим производную:
\[ y'=3x^2-6x=3x(x-2). \]Критические точки: \(y'=0\) при \(x=0\) и \(x=2\). Определяем знак производной:
| Интервал | \((-\infty;0)\) | \((0;2)\) | \((2;+\infty)\) |
|---|---|---|---|
| Знак \(y'\) | \(+\) | \(-\) | \(+\) |
| Поведение \(y\) | возрастает | убывает | возрастает |
В точке \(x=0\) производная меняет знак с «\(+\)» на «\(-\)»: это точка максимума, \(y_{\max}=y(0)=0\). В точке \(x=2\) знак меняется с «\(-\)» на «\(+\)»: точка минимума, \(y_{\min}=y(2)=8-12=-4\).
Ответ: возрастает на \((-\infty;0]\) и \([2;+\infty)\), убывает на \([0;2]\); \(y_{\max}=0\) при \(x=0\), \(y_{\min}=-4\) при \(x=2\).
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции \(y=x^3-3x+1\) на отрезке \([0;3]\).
1) \(y'=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\); критические точки \(x=1\) и \(x=-1\).
2) Отрезку \([0;3]\) принадлежит только \(x=1\).
3) Вычисляем значения: \(y(0)=1\); \(y(1)=1-3+1=-1\); \(y(3)=27-9+1=19\).
4) Сравниваем: \(\max\limits_{[0;3]} y = y(3)=19\), \(\min\limits_{[0;3]} y = y(1)=-1\).
Ответ: наибольшее значение \(19\) при \(x=3\), наименьшее \(-1\) при \(x=1\).
Пример 3. Найти асимптоты графика функции \(y=\dfrac{x^2}{x-1}\).
Область определения: \(x\ne 1\). В точке \(x=1\) — разрыв второго рода:
\[ \lim_{x\to 1^-}\frac{x^2}{x-1}=-\infty,\qquad \lim_{x\to 1^+}\frac{x^2}{x-1}=+\infty, \]значит, \(x=1\) — вертикальная асимптота. Горизонтальной асимптоты нет, так как \(\lim\limits_{x\to\pm\infty} y=\pm\infty\). Ищем наклонную \(y=kx+b\):
\[ k=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x(x-1)}=1,\qquad b=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2}{x-1}-x\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x-1}=1. \]Ответ: вертикальная асимптота \(x=1\), наклонная асимптота \(y=x+1\).