Первообразная. Неопределённый интеграл, его свойства.
Непосредственное интегрирование и внесение под знак дифференциала

Подготовка к экзамену «Элементы высшей математики» · Вопросы №10–11 · 50 задач

Часть I. Теория

1. Первообразная

Определение. Функция \(F(x)\) называется первообразной функции \(f(x)\) на промежутке \(X\), если для всех \(x \in X\) выполняется равенство

\[ F'(x) = f(x). \]

Пример: \(F(x)=\dfrac{x^3}{3}\) — первообразная для \(f(x)=x^2\), так как \(\left(\dfrac{x^3}{3}\right)'=x^2\). Но и \(\dfrac{x^3}{3}+7\) — тоже первообразная для \(x^2\): постоянное слагаемое при дифференцировании исчезает.

Теорема (о множестве первообразных). Если \(F(x)\) — какая-нибудь первообразная функции \(f(x)\) на промежутке \(X\), то множество всех первообразных \(f(x)\) на этом промежутке имеет вид

\[ F(x) + C, \qquad C = \text{const} \in \mathbb{R}. \]

Действительно: во-первых, \((F(x)+C)' = F'(x) = f(x)\), то есть \(F(x)+C\) — первообразная. Во-вторых, если \(\Phi(x)\) — другая первообразная, то \((\Phi(x)-F(x))' = f(x)-f(x) = 0\), а функция с нулевой производной на промежутке постоянна, значит \(\Phi(x)=F(x)+C\).

2. Неопределённый интеграл

Определение. Совокупность всех первообразных функции \(f(x)\) на промежутке \(X\) называется неопределённым интегралом от функции \(f(x)\) и обозначается

\[ \int f(x)\,dx = F(x) + C, \quad \text{где } F'(x)=f(x). \]

Здесь \(f(x)\) — подынтегральная функция, \(f(x)\,dx\) — подынтегральное выражение, \(x\) — переменная интегрирования, \(C\) — произвольная постоянная интегрирования. Операция нахождения интеграла называется интегрированием; она обратна дифференцированию.

3. Свойства неопределённого интеграла

1) Производная интеграла равна подынтегральной функции, а дифференциал интеграла — подынтегральному выражению: \[ \left( \int f(x)\,dx \right)' = f(x), \qquad d\!\left( \int f(x)\,dx \right) = f(x)\,dx. \]

2) Интеграл от дифференциала функции равен этой функции с точностью до постоянной: \[ \int dF(x) = F(x) + C, \qquad \text{в частности } \int dx = x + C. \]

3) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла (\(k \ne 0\)): \[ \int k \, f(x)\,dx = k \int f(x)\,dx. \]

4) Интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов: \[ \int \bigl( f(x) \pm g(x) \bigr) dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx. \]

Свойства 3) и 4) вместе называют линейностью неопределённого интеграла: \(\displaystyle \int \bigl( \alpha f(x) + \beta g(x) \bigr) dx = \alpha \int f(x)\,dx + \beta \int g(x)\,dx.\)

Правильность интегрирования всегда можно проверить дифференцированием: производная результата должна совпасть с подынтегральной функцией.

4. Таблица основных интегралов

№Формула№Формула
1\(\displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\ \ n \ne -1\) 9\(\displaystyle \int \frac{dx}{\cos^2 x} = \operatorname{tg} x + C\)
2\(\displaystyle \int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C\) 10\(\displaystyle \int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\operatorname{ctg} x + C\)
3\(\displaystyle \int e^{x}\,dx = e^{x} + C\) 11\(\displaystyle \int \frac{dx}{1+x^2} = \operatorname{arctg} x + C\)
4\(\displaystyle \int a^{x}\,dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C,\ \ a>0,\ a\ne 1\) 12\(\displaystyle \int \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a}\operatorname{arctg}\frac{x}{a} + C\)
5\(\displaystyle \int \sin x\,dx = -\cos x + C\) 13\(\displaystyle \int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C\)
6\(\displaystyle \int \cos x\,dx = \sin x + C\) 14\(\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C\)
7\(\displaystyle \int \operatorname{tg} x\,dx = -\ln|\cos x| + C\) 15\(\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C\)
8\(\displaystyle \int \operatorname{ctg} x\,dx = \ln|\sin x| + C\) 16\(\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} = \ln\left| x + \sqrt{x^2 \pm a^2} \right| + C\)

Частные случаи формулы 1: \(\displaystyle \int dx = x + C\); \(\displaystyle \int \frac{dx}{x^2} = -\frac{1}{x} + C\); \(\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C\).

5. Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование — вычисление интеграла с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции (раскрытие скобок, почленное деление, переход к степеням с рациональными показателями, тригонометрические формулы), свойств линейности и таблицы основных интегралов.

6. Внесение (подведение) под знак дифференциала

Метод основан на инвариантности формул интегрирования: если \(\displaystyle \int f(x)\,dx = F(x)+C\), то для любой дифференцируемой функции \(u = \varphi(x)\)

\[ \int f\bigl(\varphi(x)\bigr)\,\varphi'(x)\,dx = \int f(u)\,du = F\bigl(\varphi(x)\bigr) + C. \]

Суть приёма: заметить в подынтегральном выражении множитель, равный (с точностью до постоянной) производной некоторой функции \(u=\varphi(x)\), и «спрятать» его под знак дифференциала: \(\varphi'(x)\,dx = d\varphi(x)\). Типовые преобразования:

\[ dx = \frac{1}{a}\,d(ax+b); \qquad x\,dx = \frac{1}{2}\,d(x^2); \qquad x^2\,dx = \frac{1}{3}\,d(x^3); \] \[ \frac{dx}{x} = d(\ln x); \qquad e^{x}\,dx = d(e^{x}); \qquad \frac{dx}{2\sqrt{x}} = d(\sqrt{x}); \] \[ \cos x\,dx = d(\sin x); \qquad \sin x\,dx = -\,d(\cos x); \qquad \frac{dx}{\cos^2 x} = d(\operatorname{tg} x); \] \[ \frac{dx}{1+x^2} = d(\operatorname{arctg} x); \qquad \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = d(\arcsin x). \]

Важнейшее следствие для линейного аргумента: если \(\displaystyle \int f(x)\,dx = F(x)+C\), то

\[ \int f(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\,F(ax+b) + C, \qquad a \ne 0. \]

Простая замена переменной. Тот же приём можно оформить как подстановку: положим \(u=\varphi(x)\), тогда \(du=\varphi'(x)\,dx\), интеграл сводится к табличному \(\displaystyle \int f(u)\,du = F(u)+C\), после чего возвращаемся к переменной \(x\): в ответ подставляем \(u=\varphi(x)\).

Разобранные примеры

Пример 1 (непосредственное интегрирование). Вычислить \(\displaystyle \int \frac{(1+\sqrt{x})^2}{x}\,dx\).

Шаг 1. Преобразуем подынтегральную функцию: раскроем скобки и почленно поделим на \(x\): \[ \frac{(1+\sqrt{x})^2}{x} = \frac{1 + 2\sqrt{x} + x}{x} = \frac{1}{x} + \frac{2}{\sqrt{x}} + 1. \]

Шаг 2. По линейности разбиваем интеграл на сумму табличных: \[ \int \frac{(1+\sqrt{x})^2}{x}\,dx = \int \frac{dx}{x} + 2\int x^{-1/2}\,dx + \int dx. \]

Шаг 3. Применяем табличные формулы: \[ = \ln|x| + 2\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2} + x + C = \ln|x| + 4\sqrt{x} + x + C. \]

Проверка: \(\bigl(\ln|x| + 4\sqrt{x} + x\bigr)' = \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{\sqrt{x}} + 1\) — совпало с подынтегральной функцией.

Пример 2 (внесение под знак дифференциала). Вычислить \(\displaystyle \int x\,e^{x^2}\,dx\).

Шаг 1. Замечаем: множитель \(x\) с точностью до коэффициента является производной показателя \(x^2\), так как \((x^2)'=2x\). Поэтому \(x\,dx = \dfrac{1}{2}\,d(x^2)\).

Шаг 2. Вносим под знак дифференциала: \[ \int x\,e^{x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int e^{x^2}\,d(x^2). \]

Шаг 3. Обозначим \(u = x^2\); получаем табличный интеграл: \[ \frac{1}{2}\int e^{u}\,du = \frac{1}{2}\,e^{u} + C = \frac{1}{2}\,e^{x^2} + C. \]

Проверка: \(\left(\dfrac{1}{2}e^{x^2}\right)' = \dfrac{1}{2}\,e^{x^2}\cdot 2x = x\,e^{x^2}.\)

Аналогично: \(\displaystyle \int \cos x \, \sin^3 x\,dx = \int \sin^3 x \; d(\sin x) = \frac{\sin^4 x}{4} + C.\)

Пример 3 (линейный аргумент, \(d(ax+b)\)). Вычислить \(\displaystyle \int \frac{dx}{3x+5}\).

Шаг 1. Так как \(d(3x+5) = 3\,dx\), то \(dx = \dfrac{1}{3}\,d(3x+5)\).

Шаг 2. Вносим под знак дифференциала: \[ \int \frac{dx}{3x+5} = \frac{1}{3}\int \frac{d(3x+5)}{3x+5}. \]

Шаг 3. Получен табличный интеграл \(\displaystyle \int \frac{du}{u} = \ln|u|+C\) при \(u=3x+5\): \[ \int \frac{dx}{3x+5} = \frac{1}{3}\ln|3x+5| + C. \]

Аналогично по формуле линейного аргумента: \(\displaystyle \int \cos(7x-2)\,dx = \frac{1}{7}\sin(7x-2)+C;\qquad \int e^{-4x}\,dx = -\frac{1}{4}\,e^{-4x}+C.\)

Часть II. Задачи (50)

Во всех задачах требуется вычислить неопределённый интеграл. Ответ проверяйте дифференцированием.

Уровень А — базовый (№ 1–20)
  1. \(\displaystyle \int (2x^3 - 5x + 3)\,dx\)
  2. \(\displaystyle \int \frac{dx}{x^2}\)
  3. \(\displaystyle \int \left( \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \right) dx\)
  4. \(\displaystyle \int x^{7}\,dx\)
  5. \(\displaystyle \int \left( 4x^3 - 6x^2 + 2x - 1 \right) dx\)
  6. \(\displaystyle \int \sqrt[3]{x}\,dx\)
  7. \(\displaystyle \int \frac{5\,dx}{x}\)
  8. \(\displaystyle \int \left( 3e^{x} + 2\sin x \right) dx\)
  9. \(\displaystyle \int \left( \cos x - \frac{1}{\cos^2 x} \right) dx\)
  10. \(\displaystyle \int 2^{x}\,dx\)
  11. \(\displaystyle \int \frac{x^3 - 2x^2 + 4}{x}\,dx\)
  12. \(\displaystyle \int (x+2)(x-3)\,dx\)
  13. \(\displaystyle \int \frac{(1-x)^2}{x^2}\,dx\)
  14. \(\displaystyle \int \frac{x^2 + \sqrt{x}}{x^2}\,dx\)
  15. \(\displaystyle \int \frac{dx}{x^2 + 9}\)
  16. \(\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{4 - x^2}}\)
  17. \(\displaystyle \int \frac{dx}{x^2 - 16}\)
  18. \(\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 25}}\)
  19. \(\displaystyle \int \frac{x^2}{1+x^2}\,dx\)   (указание: выделите целую часть)
  20. \(\displaystyle \int \operatorname{tg}^2 x\,dx\)   (указание: \(\operatorname{tg}^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} - 1\))
Уровень Б — средний (№ 21–40)
  1. \(\displaystyle \int \sin 5x\,dx\)
  2. \(\displaystyle \int e^{3x}\,dx\)
  3. \(\displaystyle \int \cos\left( 2x - \frac{\pi}{4} \right) dx\)
  4. \(\displaystyle \int \frac{dx}{7x - 2}\)
  5. \(\displaystyle \int (4x+1)^{9}\,dx\)
  6. \(\displaystyle \int \sqrt{5x+3}\,dx\)
  7. \(\displaystyle \int \frac{dx}{(2x-1)^3}\)
  8. \(\displaystyle \int \frac{x\,dx}{x^2+1}\)
  9. \(\displaystyle \int x\,\sqrt{x^2 - 4}\,dx\)
  10. \(\displaystyle \int x^2 \sqrt{x^3+1}\,dx\)
  11. \(\displaystyle \int x\,e^{-x^2}\,dx\)
  12. \(\displaystyle \int \frac{\ln x}{x}\,dx\)
  13. \(\displaystyle \int \frac{dx}{x \ln x}\)
  14. \(\displaystyle \int \operatorname{tg} x\,dx\)
  15. \(\displaystyle \int \sin^4 x \, \cos x\,dx\)
  16. \(\displaystyle \int \frac{\sin x}{\cos^3 x}\,dx\)
  17. \(\displaystyle \int \frac{\operatorname{arctg} x}{1+x^2}\,dx\)
  18. \(\displaystyle \int \frac{e^{x}}{e^{x}+5}\,dx\)
  19. \(\displaystyle \int \frac{\cos x}{1 + \sin x}\,dx\)
  20. \(\displaystyle \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx\)
Уровень В — повышенный (№ 41–50)
  1. \(\displaystyle \int \frac{dx}{x^2 + 4x + 13}\)   (указание: выделите полный квадрат)
  2. \(\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{5 - 4x - x^2}}\)
  3. \(\displaystyle \int \frac{x\,dx}{\sqrt{1 - x^4}}\)
  4. \(\displaystyle \int \frac{x\,dx}{x^4 + 9}\)
  5. \(\displaystyle \int \frac{\sin x \cos x}{1 + \sin^2 x}\,dx\)
  6. \(\displaystyle \int \frac{e^{x}\,dx}{\sqrt{1 - e^{2x}}}\)
  7. \(\displaystyle \int \frac{dx}{x \left( 1 + \ln^2 x \right)}\)
  8. \(\displaystyle \int \frac{\sqrt{1 + \ln x}}{x}\,dx\)
  9. \(\displaystyle \int \frac{\arcsin^2 x}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx\)
  10. \(\displaystyle \int \frac{\operatorname{tg} x}{\cos^2 x} \, e^{\operatorname{tg}^2 x}\,dx\)