Интегрирование по частям

Подготовка к экзамену «Элементы высшей математики» · Вопрос №11 (вторая часть) · 50 задач

Часть I. Теория

1. Вывод формулы

Пусть \(u = u(x)\) и \(v = v(x)\) — дифференцируемые функции. По правилу дифференцирования произведения:

\[ (u \cdot v)' = u'v + uv'. \]

Проинтегрируем обе части равенства по \(x\):

\[ \int (uv)'\,dx = \int u'v\,dx + \int uv'\,dx, \qquad \text{то есть} \qquad uv = \int v\,du + \int u\,dv. \]

Выразив отсюда \(\displaystyle\int u\,dv\), получаем формулу интегрирования по частям:

\[ \int u\,dv = uv - \int v\,du \]

Смысл формулы: интеграл \(\int u\,dv\) сводится к интегралу \(\int v\,du\), который должен оказаться проще исходного. Поэтому весь метод состоит в удачном выборе того, что взять за \(u\) (эта функция будет дифференцироваться), а что — за \(dv\) (эта часть будет интегрироваться).

2. Три классических типа интегралов

Тип I. Интегралы вида \(\displaystyle\int P(x)\,e^{ax}\,dx\), \(\displaystyle\int P(x)\sin ax\,dx\), \(\displaystyle\int P(x)\cos ax\,dx\), где \(P(x)\) — многочлен. За \(u\) берём многочлен: \(u = P(x)\), тогда при дифференцировании его степень понижается. Формула применяется столько раз, какова степень многочлена.

Тип II. Интегралы вида \(\displaystyle\int P(x)\ln x\,dx\), \(\displaystyle\int P(x)\arcsin x\,dx\), \(\displaystyle\int P(x)\,\mathrm{arctg}\,x\,dx\) и т. п. За \(u\) берём логарифм или обратную тригонометрическую функцию (её первообразная в таблице отсутствует, зато производная — алгебраическая функция): \(u = \ln x\), \(u = \arcsin x\), \(u = \mathrm{arctg}\,x\); за \(dv\) — всё остальное: \(dv = P(x)\,dx\).

Тип III. Циклические интегралы вида \(\displaystyle\int e^{ax}\cos bx\,dx\), \(\displaystyle\int e^{ax}\sin bx\,dx\), а также \(\displaystyle\int \sin(\ln x)\,dx\), \(\displaystyle\int \cos(\ln x)\,dx\). Формула применяется дважды (оба раза с одинаковым выбором \(u\)!), после чего в правой части снова появляется исходный интеграл \(J\). Получается линейное уравнение относительно \(J\), из которого он и находится.

3. Таблица-подсказка: выбор \(u\) и \(dv\)

Тип интеграла Что взять за \(u\) Что взять за \(dv\) Сколько раз применять
\(\displaystyle\int P(x)\,e^{ax}dx\), \(\displaystyle\int P(x)\sin ax\,dx\), \(\displaystyle\int P(x)\cos ax\,dx\) \(u = P(x)\) — многочлен \(dv = e^{ax}dx\), \(\sin ax\,dx\), \(\cos ax\,dx\) столько раз, какова степень \(P(x)\)
\(\displaystyle\int P(x)\ln x\,dx\), \(\displaystyle\int P(x)\arcsin x\,dx\), \(\displaystyle\int P(x)\,\mathrm{arctg}\,x\,dx\) \(u = \ln x,\ \arcsin x,\ \mathrm{arctg}\,x\) \(dv = P(x)\,dx\) обычно один раз
\(\displaystyle\int e^{ax}\cos bx\,dx\), \(\displaystyle\int e^{ax}\sin bx\,dx\) любой из множителей (но оба раза одинаково) оставшийся множитель с \(dx\) дважды + уравнение относительно интеграла

Мнемоническое правило: за \(u\) берётся функция, стоящая раньше в списке «Логарифмическая — Обратная тригонометрическая — Степенная — Тригонометрическая — Показательная».

Разобранные примеры

Пример 1 (тип I). Вычислить \(\displaystyle\int x\,e^{2x}\,dx\).

Шаг 1. Многочлен берём за \(u\):

\[ u = x, \quad dv = e^{2x}dx \quad\Longrightarrow\quad du = dx, \quad v = \int e^{2x}dx = \tfrac{1}{2}e^{2x}. \]

Шаг 2. Применяем формулу \(\int u\,dv = uv - \int v\,du\):

\[ \int x\,e^{2x}dx = x\cdot\tfrac{1}{2}e^{2x} - \int \tfrac{1}{2}e^{2x}\,dx = \tfrac{x}{2}e^{2x} - \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}e^{2x} + C. \]

Ответ: \(\displaystyle\int x\,e^{2x}dx = \frac{e^{2x}}{4}\,(2x-1) + C.\)

Пример 2 (тип II). Вычислить \(\displaystyle\int x^{2}\ln x\,dx\).

Шаг 1. Логарифм берём за \(u\) (его удобно дифференцировать):

\[ u = \ln x, \quad dv = x^{2}dx \quad\Longrightarrow\quad du = \frac{dx}{x}, \quad v = \frac{x^{3}}{3}. \]

Шаг 2. По формуле:

\[ \int x^{2}\ln x\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{dx}{x} = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \frac{1}{3}\int x^{2}dx. \]

Шаг 3. Оставшийся интеграл — табличный:

\[ \frac{1}{3}\int x^{2}dx = \frac{x^{3}}{9}. \]

Ответ: \(\displaystyle\int x^{2}\ln x\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \frac{x^{3}}{9} + C = \frac{x^{3}}{9}\,(3\ln x - 1) + C.\)

Пример 3 (тип III, циклический). Вычислить \(J = \displaystyle\int e^{x}\sin x\,dx\).

Шаг 1. Первое применение формулы:

\[ u = e^{x}, \quad dv = \sin x\,dx \quad\Longrightarrow\quad du = e^{x}dx, \quad v = -\cos x; \] \[ J = -e^{x}\cos x + \int e^{x}\cos x\,dx. \]

Шаг 2. Второе применение — к новому интегралу, с тем же выбором \(u = e^{x}\):

\[ u = e^{x}, \quad dv = \cos x\,dx \quad\Longrightarrow\quad du = e^{x}dx, \quad v = \sin x; \] \[ \int e^{x}\cos x\,dx = e^{x}\sin x - \int e^{x}\sin x\,dx = e^{x}\sin x - J. \]

Шаг 3. Подставляем во вторую строку шага 1 — исходный интеграл «зациклился»:

\[ J = -e^{x}\cos x + e^{x}\sin x - J \quad\Longrightarrow\quad 2J = e^{x}(\sin x - \cos x). \]

Ответ: \(\displaystyle\int e^{x}\sin x\,dx = \frac{e^{x}(\sin x - \cos x)}{2} + C.\)

Часть II. Задачи (50)

Уровень А — базовый (№ 1–20)
  1. \(\displaystyle\int x\sin x\,dx\)
  2. \(\displaystyle\int x\cos x\,dx\)
  3. \(\displaystyle\int x\,e^{x}\,dx\)
  4. \(\displaystyle\int x\,e^{-x}\,dx\)
  5. \(\displaystyle\int x\cos 3x\,dx\)
  6. \(\displaystyle\int x\sin 2x\,dx\)
  7. \(\displaystyle\int (x+1)\,e^{3x}\,dx\)
  8. \(\displaystyle\int (2x-1)\sin x\,dx\)
  9. \(\displaystyle\int x\,e^{x/2}\,dx\)
  10. \(\displaystyle\int (3-x)\cos 2x\,dx\)
  11. \(\displaystyle\int \ln x\,dx\)
  12. \(\displaystyle\int x\ln x\,dx\)
  13. \(\displaystyle\int \frac{\ln x}{x^{2}}\,dx\)
  14. \(\displaystyle\int \sqrt{x}\,\ln x\,dx\)
  15. \(\displaystyle\int \mathrm{arctg}\,x\,dx\)
  16. \(\displaystyle\int \arcsin x\,dx\)
  17. \(\displaystyle\int x\cdot 2^{x}\,dx\)
  18. \(\displaystyle\int (2x+3)\,e^{x}\,dx\)
  19. \(\displaystyle\int x\sin\frac{x}{2}\,dx\)
  20. \(\displaystyle\int (x+2)\cos x\,dx\)
Уровень Б — средний (№ 21–40)
  1. \(\displaystyle\int x^{2}e^{x}\,dx\)
  2. \(\displaystyle\int x^{2}\sin x\,dx\)
  3. \(\displaystyle\int x^{2}\cos x\,dx\)
  4. \(\displaystyle\int x^{2}e^{-x}\,dx\)
  5. \(\displaystyle\int x^{2}\cos 2x\,dx\)
  6. \(\displaystyle\int (x^{2}+1)\,e^{2x}\,dx\)
  7. \(\displaystyle\int x^{2}\sin 3x\,dx\)
  8. \(\displaystyle\int (x^{2}-2x)\,e^{x}\,dx\)
  9. \(\displaystyle\int \ln^{2}x\,dx\)
  10. \(\displaystyle\int x\arcsin x\,dx\)
  11. \(\displaystyle\int \arccos x\,dx\)
  12. \(\displaystyle\int \ln(x^{2}+1)\,dx\)
  13. \(\displaystyle\int x\,\mathrm{arctg}\,x\,dx\)
  14. \(\displaystyle\int \mathrm{arctg}\,\sqrt{x}\,dx\)  (сначала замена \(t=\sqrt{x}\))
  15. \(\displaystyle\int e^{\sqrt{x}}\,dx\)  (сначала замена \(t=\sqrt{x}\))
  16. \(\displaystyle\int \cos\sqrt{x}\,dx\)  (сначала замена \(t=\sqrt{x}\))
  17. \(\displaystyle\int x\ln(x+1)\,dx\)
  18. \(\displaystyle\int x^{2}\,\mathrm{arctg}\,x\,dx\)
  19. \(\displaystyle\int x\cos^{2}x\,dx\)  (сначала понизьте степень косинуса)
  20. \(\displaystyle\int x^{3}e^{x^{2}}\,dx\)  (сначала замена \(t=x^{2}\))
Уровень В — повышенный (№ 41–50)
  1. \(\displaystyle\int e^{2x}\cos 3x\,dx\)
  2. \(\displaystyle\int e^{-x}\sin 2x\,dx\)
  3. \(\displaystyle\int \sin(\ln x)\,dx\)
  4. \(\displaystyle\int \cos(\ln x)\,dx\)
  5. \(\displaystyle\int \frac{x\,e^{x}}{(x+1)^{2}}\,dx\)  (возьмите \(u=x\,e^{x}\), \(dv=\dfrac{dx}{(x+1)^{2}}\))
  6. \(\displaystyle\int \frac{\arcsin x}{\sqrt{1+x}}\,dx\)
  7. \(\displaystyle\int \sqrt{x^{2}+1}\,dx\)  (по частям с последующим решением уравнения относительно интеграла)
  8. \(\displaystyle\int x\,\mathrm{tg}^{2}x\,dx\)  (учтите, что \(\mathrm{tg}^{2}x = \dfrac{1}{\cos^{2}x}-1\))
  9. \(\displaystyle\int \ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)\,dx\)
  10. \(\displaystyle\int x^{2}\ln^{2}x\,dx\)