Подготовка к экзамену «Элементы высшей математики» · Вопросы №12–13 · 50 задач
Рациональной функцией (рациональной дробью) называется отношение двух многочленов \(\dfrac{P_m(x)}{Q_n(x)}\), где \(m\) — степень числителя, \(n\) — степень знаменателя.
Дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя: \(m < n\).
Если \(m \geqslant n\), дробь называется неправильной.
Выделение целой части. Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби, разделив числитель на знаменатель «уголком»:
где \(S(x)\) — частное (многочлен), \(R(x)\) — остаток от деления, причём степень \(R(x)\) меньше степени \(Q_n(x)\). Многочлен \(S(x)\) интегрируется непосредственно, поэтому задача сводится к интегрированию правильной дроби.
Различают четыре типа простейших дробей. Здесь \(a,\,A,\,M,\,N,\,p,\,q\) — действительные числа, \(k \geqslant 2\) — натуральное число, а квадратный трёхчлен \(x^2+px+q\) не имеет действительных корней (\(D = p^2 - 4q < 0\), т. е. он неразложим на линейные множители).
| Тип | Вид дроби | Интеграл |
|---|---|---|
| I | \(\dfrac{A}{x-a}\) | \(\displaystyle\int \frac{A\,dx}{x-a} = A\ln|x-a| + C\) |
| II | \(\dfrac{A}{(x-a)^k}\) | \(\displaystyle\int \frac{A\,dx}{(x-a)^k} = \frac{A}{(1-k)(x-a)^{k-1}} + C\) |
| III | \(\dfrac{Mx+N}{x^2+px+q}\) | сводится к \(\ln\) и \(\operatorname{arctg}\) выделением полного квадрата (см. ниже) |
| IV | \(\dfrac{Mx+N}{(x^2+px+q)^k}\) | вычисляется по рекуррентной формуле понижения степени \(k\) |
Интегрирование дроби III типа — выделение полного квадрата. Запишем \(x^2+px+q = \left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2 + a^2\), где \(a^2 = q - \dfrac{p^2}{4} > 0\), и сделаем замену \(t = x + \dfrac{p}{2}\). Тогда всё сводится к двум табличным интегралам:
В частности: \[ \int \frac{dx}{x^2+px+q} = \frac{1}{a}\,\operatorname{arctg}\frac{x+\frac{p}{2}}{a} + C, \qquad a = \sqrt{q - \tfrac{p^2}{4}}. \]
Теорема. Всякая правильная рациональная дробь единственным образом разлагается в сумму простейших дробей. Вид разложения определяется разложением знаменателя на множители:
• множителю \((x-a)\) отвечает слагаемое \(\dfrac{A}{x-a}\);
• множителю \((x-a)^k\) отвечает сумма \(\dfrac{A_1}{x-a} + \dfrac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \dfrac{A_k}{(x-a)^k}\);
• множителю \((x^2+px+q)\) (без действительных корней) — слагаемое \(\dfrac{Mx+N}{x^2+px+q}\);
• множителю \((x^2+px+q)^k\) — сумма \(\dfrac{M_1x+N_1}{x^2+px+q} + \dots + \dfrac{M_kx+N_k}{(x^2+px+q)^k}\).
Алгоритм метода неопределённых коэффициентов:
1) если дробь неправильная — выделить целую часть делением;
2) разложить знаменатель на множители;
3) записать разложение с буквенными (неопределёнными) коэффициентами;
4) привести правую часть к общему знаменателю и приравнять числители;
5) найти коэффициенты одним из двух способов:
• приравнивание коэффициентов: приравнять коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) слева и справа и решить полученную систему линейных уравнений;
• метод подстановки значений (метод частных значений): подставить в тождество удобные значения \(x\) — прежде всего корни знаменателя, при которых большинство слагаемых обращается в нуль.
Оба способа можно комбинировать. После нахождения коэффициентов каждое слагаемое интегрируется по формулам п. 2.
Пример 1. Вычислить \(\displaystyle\int \frac{dx}{x^2-5x+6}\).
Шаг 1. Разложим знаменатель: корни трёхчлена \(x^2-5x+6\) — числа \(2\) и \(3\), поэтому \(x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)\).
Шаг 2. Запишем разложение с неопределёнными коэффициентами: \[ \frac{1}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}. \] Приведя к общему знаменателю и приравняв числители, получим тождество \(1 = A(x-3) + B(x-2)\).
Шаг 3. Метод подстановки значений: при \(x=2\): \(1 = A\cdot(-1)\), откуда \(A=-1\); при \(x=3\): \(1 = B\cdot 1\), откуда \(B=1\).
Шаг 4. Интегрируем: \[ \int \frac{dx}{x^2-5x+6} = \int\!\left(\frac{-1}{x-2} + \frac{1}{x-3}\right)dx = \ln|x-3| - \ln|x-2| + C = \ln\left|\frac{x-3}{x-2}\right| + C. \]
Пример 2 (кратный корень). Вычислить \(\displaystyle\int \frac{(x+2)\,dx}{x(x-1)^2}\).
Шаг 1. Знаменатель уже разложен; корень \(x=1\) — двукратный, поэтому разложение имеет вид \[ \frac{x+2}{x(x-1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2}. \]
Шаг 2. Приравниваем числители: \(x+2 = A(x-1)^2 + Bx(x-1) + Cx.\)
Шаг 3. Подстановка корней: при \(x=0\): \(2 = A\); при \(x=1\): \(3 = C\). Коэффициент \(B\) найдём приравниванием коэффициентов при \(x^2\): слева \(0\), справа \(A+B\), значит \(B = -A = -2\).
Шаг 4. Интегрируем каждое слагаемое: \[ \int \frac{(x+2)\,dx}{x(x-1)^2} = \int\!\left(\frac{2}{x} - \frac{2}{x-1} + \frac{3}{(x-1)^2}\right)dx = 2\ln|x| - 2\ln|x-1| - \frac{3}{x-1} + C. \]
Пример 3 (неправильная дробь). Вычислить \(\displaystyle\int \frac{x^3-2x^2+4}{x^2-4}\,dx\).
Шаг 1. Дробь неправильная (степень числителя \(3 > 2\)). Делим «уголком»: частное \(x-2\), остаток \(4x-4\), то есть \[ \frac{x^3-2x^2+4}{x^2-4} = x - 2 + \frac{4x-4}{x^2-4}. \] Проверка: \((x-2)(x^2-4) + 4x-4 = x^3-2x^2-4x+8+4x-4 = x^3-2x^2+4.\)
Шаг 2. Правильную дробь разложим на простейшие: \(x^2-4=(x-2)(x+2)\), \[ \frac{4x-4}{(x-2)(x+2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}, \qquad 4x-4 = A(x+2)+B(x-2). \] При \(x=2\): \(4 = 4A\), \(A=1\); при \(x=-2\): \(-12 = -4B\), \(B=3\).
Шаг 3. Интегрируем: \[ \int \frac{x^3-2x^2+4}{x^2-4}\,dx = \int (x-2)\,dx + \int\frac{dx}{x-2} + 3\int\frac{dx}{x+2} = \frac{x^2}{2} - 2x + \ln|x-2| + 3\ln|x+2| + C. \]