Интегрирование иррациональных функций

Подготовка к экзамену «Элементы высшей математики» · Вопрос №14 · 50 задач

Часть I. Теория

1. Интегралы, содержащие \(\sqrt[n]{ax+b}\)

Если подынтегральная функция содержит иррациональность вида \(\sqrt[n]{ax+b}\) (и, возможно, саму переменную \(x\) в целых степенях), то интеграл сводится к интегралу от рациональной функции заменой переменной:

\[ t=\sqrt[n]{ax+b} \quad\Longrightarrow\quad t^{n}=ax+b,\qquad x=\frac{t^{n}-b}{a},\qquad dx=\frac{n\,t^{\,n-1}}{a}\,dt. \]

После такой замены корень исчезает: \(\sqrt[n]{ax+b}=t\), и под знаком интеграла остаётся рациональная функция от \(t\) (многочлен или дробь), которая интегрируется стандартными приёмами. В конце обязательно выполняется обратная замена \(t=\sqrt[n]{ax+b}\).

2. Разные степени корня из одного выражения

Если в подынтегральной функции встречаются корни разных степеней из одного и того же линейного выражения, например \(\sqrt{x}\) и \(\sqrt[3]{x}\), то делают одну общую замену:

\[ t=\sqrt[k]{ax+b},\qquad \text{где } k=\text{НОК}(n_1,n_2,\dots) \text{ — наименьшее общее кратное показателей всех корней.} \]

Например, для \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) и \(\sqrt[3]{x}=x^{1/3}\) берём \(k=\text{НОК}(2,3)=6\), то есть \(t=\sqrt[6]{x}\); тогда \(\sqrt{x}=t^{3}\), \(\sqrt[3]{x}=t^{2}\), и все корни выражаются через целые степени \(t\).

3. Дробно-линейная иррациональность

Интегралы, содержащие корень из дробно-линейного выражения \(\sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cx+d}}\) (при \(ad-bc\neq 0\)), рационализируются заменой:

\[ t=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} \quad\Longrightarrow\quad t^{n}=\frac{ax+b}{cx+d},\qquad x=\frac{d\,t^{n}-b}{a-c\,t^{n}}, \]

после чего \(x\) и \(dx\) выражаются через \(t\) рационально, и интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби.

4. Табличные интегралы с квадратичными иррациональностями

Следующие интегралы считаются табличными и применяются без вывода (\(a>0\)):

\[ \int\frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin\frac{x}{a}+C \] \[ \int\frac{dx}{\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}}=\ln\left|x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\right|+C \] \[ \int\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\arcsin\frac{x}{a}+C \]

5. Выделение полного квадрата под корнем

Интегралы вида \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+px+q}}\) и \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{q+px-x^{2}}}\) сводятся к табличным выделением полного квадрата в квадратном трёхчлене:

\[ x^{2}+px+q=\left(x+\frac{p}{2}\right)^{2}+\left(q-\frac{p^{2}}{4}\right), \]

затем выполняется замена \(u=x+\dfrac{p}{2}\), \(du=dx\), и интеграл принимает один из табличных видов пункта 4 (с \(u\) вместо \(x\)).

Если в числителе стоит линейная функция, её представляют в виде суммы: часть, пропорциональная производной трёхчлена \((2x+p)\), интегрируется по формуле \(\int \frac{du}{\ \sqrt{u}\ }=2\sqrt{u}+C\) (замена \(u\) — трёхчлен), а оставшаяся константа даёт табличный интеграл.

6. Тригонометрические подстановки

Если корень из квадратичного выражения не удаётся устранить перечисленными способами (например, он стоит в числителе или умножается на степени \(x\)), применяют тригонометрические подстановки:

Вид иррациональности Подстановка Что получается
\(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\) \(x=a\sin t,\quad dx=a\cos t\,dt\) \(\sqrt{a^{2}-x^{2}}=a\cos t\)
\(\sqrt{a^{2}+x^{2}}\) \(x=a\,\mathrm{tg}\,t,\quad dx=\dfrac{a\,dt}{\cos^{2}t}\) \(\sqrt{a^{2}+x^{2}}=\dfrac{a}{\cos t}\)
\(\sqrt{x^{2}-a^{2}}\) \(x=\dfrac{a}{\cos t},\quad dx=\dfrac{a\sin t\,dt}{\cos^{2}t}\) \(\sqrt{x^{2}-a^{2}}=a\,\mathrm{tg}\,t\)

После подстановки интеграл сводится к интегралу от тригонометрической функции; в конце выполняется обратный переход к \(x\) (обычно с помощью прямоугольного треугольника или формул \(\sin t=\frac{x}{a}\), \(\mathrm{tg}\,t=\frac{x}{a}\) и т. д.).

Разобранные примеры

Пример 1. Вычислить \(\displaystyle\int\frac{x\,dx}{\sqrt{x+1}}\).

Шаг 1. Под интегралом корень из линейного выражения — делаем замену \(t=\sqrt{x+1}\). Тогда \(t^{2}=x+1\), откуда \(x=t^{2}-1\) и \(dx=2t\,dt\).

Шаг 2. Подставляем:

\[ \int\frac{x\,dx}{\sqrt{x+1}}=\int\frac{(t^{2}-1)\cdot 2t\,dt}{t}=2\int(t^{2}-1)\,dt. \]

Шаг 3. Интегрируем многочлен:

\[ 2\int(t^{2}-1)\,dt=2\left(\frac{t^{3}}{3}-t\right)+C=\frac{2t^{3}}{3}-2t+C. \]

Шаг 4. Возвращаемся к переменной \(x\): \(t=\sqrt{x+1}\), поэтому

\[ \int\frac{x\,dx}{\sqrt{x+1}}=\frac{2}{3}\sqrt{(x+1)^{3}}-2\sqrt{x+1}+C. \]

Пример 2. Вычислить \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}\).

Шаг 1. Встречаются корни степеней 2 и 3 из \(x\); \(\text{НОК}(2,3)=6\), поэтому делаем замену \(t=\sqrt[6]{x}\). Тогда \(x=t^{6}\), \(dx=6t^{5}\,dt\), причём \(\sqrt{x}=t^{3}\), \(\sqrt[3]{x}=t^{2}\).

Шаг 2. Подставляем и сокращаем:

\[ \int\frac{6t^{5}\,dt}{t^{3}+t^{2}}=6\int\frac{t^{5}\,dt}{t^{2}(t+1)}=6\int\frac{t^{3}\,dt}{t+1}. \]

Шаг 3. Делим числитель на знаменатель «уголком»: \(\dfrac{t^{3}}{t+1}=t^{2}-t+1-\dfrac{1}{t+1}\). Тогда

\[ 6\int\left(t^{2}-t+1-\frac{1}{t+1}\right)dt=6\left(\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}+t-\ln|t+1|\right)+C. \]

Шаг 4. Обратная замена \(t=\sqrt[6]{x}\):

\[ \int\frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}=2\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}+6\sqrt[6]{x}-6\ln\left(\sqrt[6]{x}+1\right)+C. \]

Пример 3. Вычислить \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+4x+9}}\).

Шаг 1. Выделяем полный квадрат в подкоренном выражении:

\[ x^{2}+4x+9=(x^{2}+4x+4)+5=(x+2)^{2}+5. \]

Шаг 2. Делаем замену \(u=x+2\), \(du=dx\):

\[ \int\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+4x+9}}=\int\frac{du}{\sqrt{u^{2}+5}}. \]

Шаг 3. Это табличный интеграл \(\displaystyle\int\frac{du}{\sqrt{u^{2}+a^{2}}}=\ln\left|u+\sqrt{u^{2}+a^{2}}\right|+C\) при \(a^{2}=5\):

\[ \int\frac{du}{\sqrt{u^{2}+5}}=\ln\left|u+\sqrt{u^{2}+5}\right|+C. \]

Шаг 4. Возвращаемся к \(x\):

\[ \int\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+4x+9}}=\ln\left|x+2+\sqrt{x^{2}+4x+9}\right|+C. \]

Часть II. Задачи (50)

Уровень А — базовый (№ 1–20)
  1. \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{9-x^{2}}}\)
  2. \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+16}}\)
  3. \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{25-x^{2}}}\)
  4. \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4}}\)
  5. \(\displaystyle\int\sqrt{1-x^{2}}\,dx\)
  6. \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+1}}\)
  7. \(\displaystyle\int\sqrt{2x+3}\,dx\)
  8. \(\displaystyle\int\sqrt{5x-1}\,dx\)
  9. \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{3x+2}}\)
  10. \(\displaystyle\int x\sqrt{x-2}\,dx\)
  11. \(\displaystyle\int x\sqrt{x+3}\,dx\)
  12. \(\displaystyle\int\frac{x\,dx}{\sqrt{x-1}}\)
  13. \(\displaystyle\int\frac{dx}{1+\sqrt{x}}\)
  14. \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x}-1}\)
  15. \(\displaystyle\int\frac{\sqrt{x}\,dx}{1+\sqrt{x}}\)
  16. \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x+2}+1}\)
  17. \(\displaystyle\int\frac{(x+2)\,dx}{\sqrt{x+4}}\)
  18. \(\displaystyle\int\frac{x\,dx}{\sqrt{2x+1}}\)
  19. \(\displaystyle\int\sqrt{9-x^{2}}\,dx\)
  20. \(\displaystyle\int x^{2}\sqrt{x-1}\,dx\)
Уровень Б — средний (№ 21–40)
  1. \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}\)
  2. \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}}\)
  3. \(\displaystyle\int\frac{\sqrt{x}\,dx}{1+\sqrt[3]{x}}\)
  4. \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{3-2x-x^{2}}}\)
  5. \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+6x+13}}\)
  6. \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x+3}}\)
  7. \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{5+4x-x^{2}}}\)
  8. \(\displaystyle\int\frac{(x+1)\,dx}{\sqrt{x^{2}+2x+5}}\)
  9. \(\displaystyle\int\frac{(x-2)\,dx}{\sqrt{x^{2}-4x+8}}\)
  10. \(\displaystyle\int\frac{(2x+3)\,dx}{\sqrt{x^{2}+3x+1}}\)
  11. \(\displaystyle\int\frac{x\,dx}{\sqrt{x^{2}+2x+2}}\)
  12. \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{1-x-x^{2}}}\)
  13. \(\displaystyle\int\frac{x\,dx}{\sqrt{x+4}}\)
  14. \(\displaystyle\int\frac{x^{2}\,dx}{\sqrt{x-1}}\)
  15. \(\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{x+1}}\)
  16. \(\displaystyle\int\frac{dx}{(x+1)\sqrt{x}}\)
  17. \(\displaystyle\int\frac{\sqrt{x+1}}{x}\,dx\)
  18. \(\displaystyle\int\frac{x\,dx}{\sqrt[3]{x+1}}\)
  19. \(\displaystyle\int\frac{dx}{1+\sqrt{2x+1}}\)
  20. \(\displaystyle\int\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\,dx\)
Уровень В — повышенный (№ 41–50)
  1. \(\displaystyle\int\sqrt{4-x^{2}}\,dx\) (подстановкой \(x=2\sin t\))
  2. \(\displaystyle\int\frac{x^{2}\,dx}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
  3. \(\displaystyle\int\frac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2}+1}}\)
  4. \(\displaystyle\int\frac{dx}{x^{2}\sqrt{4-x^{2}}}\)
  5. \(\displaystyle\int\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x^{2}}\,dx\)
  6. \(\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{(x^{2}+1)^{3}}}\)
  7. \(\displaystyle\int\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\,dx\)
  8. \(\displaystyle\int\sqrt{\frac{2+x}{2-x}}\,dx\)
  9. \(\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{x^{2}-1}}\)
  10. \(\displaystyle\int\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x}\,dx\)