Подготовка к экзамену «Элементы высшей математики» · Вопрос №15 · 50 задач
Случай 1: хотя бы одна из степеней нечётна. Если \(n\) нечётно, от косинуса «отщепляют» один множитель \(\cos x\,dx = d(\sin x)\), а оставшуюся чётную степень косинуса выражают через синус по формуле \(\cos^2 x = 1-\sin^2 x\); затем делают замену \(t=\sin x\). Если нечётно \(m\), то, наоборот, отщепляют \(\sin x\,dx = -\,d(\cos x)\), используют \(\sin^2 x = 1-\cos^2 x\) и полагают \(t=\cos x\). В обоих случаях интеграл сводится к интегралу от многочлена.
Отщепление нечётной степени:
\[\int \sin^{2k+1} x\,\cos^n x\,dx = -\int (1-\cos^2 x)^k \cos^n x\,d(\cos x),\qquad t=\cos x;\] \[\int \sin^m x\,\cos^{2k+1} x\,dx = \int \sin^m x\,(1-\sin^2 x)^k\,d(\sin x),\qquad t=\sin x.\]Случай 2: обе степени чётны. Применяют формулы понижения степени, которые вдвое уменьшают показатель, удваивая аргумент. Процедуру повторяют, пока не останутся первые степени косинусов кратных углов.
Формулы понижения степени:
\[\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2},\qquad \cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2},\qquad \sin x\cos x = \frac{\sin 2x}{2}.\]Интегралы вида \(\int \sin\alpha x\cos\beta x\,dx\), \(\int \sin\alpha x\sin\beta x\,dx\), \(\int \cos\alpha x\cos\beta x\,dx\) берутся после преобразования произведения в сумму.
Интеграл вида \(\displaystyle\int R(\sin x,\cos x)\,dx\), где \(R\) — рациональная функция, всегда сводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой \(t=\operatorname{tg}\dfrac{x}{2}\) (при \(-\pi<x<\pi\)).
Универсальная подстановка \(t=\operatorname{tg}\dfrac{x}{2}\):
\[\sin x = \frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad x = 2\operatorname{arctg} t,\qquad dx = \frac{2\,dt}{1+t^2}.\]Универсальная подстановка применима всегда, но часто приводит к громоздким выкладкам, поэтому по возможности используют частные подстановки.
Если подынтегральная функция чётна относительно \(\sin x\) и \(\cos x\) одновременно, т.е. \(R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)\), удобна подстановка \(t=\operatorname{tg} x\):
| Свойство функции \(R(\sin x,\cos x)\) | Подстановка |
|---|---|
| Нечётна по \(\sin x\): \(R(-\sin x,\cos x)=-R\) | \(t=\cos x\) |
| Нечётна по \(\cos x\): \(R(\sin x,-\cos x)=-R\) | \(t=\sin x\) |
| Чётна по \(\sin x\) и \(\cos x\) вместе | \(t=\operatorname{tg} x\) |
| Общий случай | \(t=\operatorname{tg}\dfrac{x}{2}\) |
Для \(\displaystyle\int \operatorname{tg}^n x\,dx\) выделяют множитель \(\operatorname{tg}^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}-1\); поскольку \(\dfrac{dx}{\cos^2 x}=d(\operatorname{tg} x)\), степень последовательно понижается:
Базовые интегралы:
\[\int \operatorname{tg} x\,dx = -\ln|\cos x|+C,\qquad \int \operatorname{ctg} x\,dx = \ln|\sin x|+C,\] \[\int \frac{dx}{\sin x} = \ln\left|\operatorname{tg}\frac{x}{2}\right|+C,\qquad \int \frac{dx}{\cos x} = \ln\left|\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C.\]Пример 1. Вычислить \(\displaystyle\int \sin^3 x\,\cos^2 x\,dx\) (отщепление нечётной степени).
Шаг 1. Степень синуса нечётна — отщепляем множитель \(\sin x\) и выражаем оставшийся квадрат через косинус: \[\int \sin^3 x\,\cos^2 x\,dx = \int \sin^2 x\,\cos^2 x\,\sin x\,dx = \int (1-\cos^2 x)\cos^2 x\,\sin x\,dx.\]
Шаг 2. Замена \(t=\cos x\), тогда \(dt=-\sin x\,dx\), то есть \(\sin x\,dx = -dt\): \[\int (1-t^2)\,t^2\,(-dt) = \int (t^4 - t^2)\,dt.\]
Шаг 3. Интегрируем многочлен: \[\int (t^4 - t^2)\,dt = \frac{t^5}{5} - \frac{t^3}{3} + C.\]
Шаг 4. Возвращаемся к переменной \(x\): \[\int \sin^3 x\,\cos^2 x\,dx = \frac{\cos^5 x}{5} - \frac{\cos^3 x}{3} + C.\]
Пример 2. Вычислить \(\displaystyle\int \sin^2 x\,dx\) (понижение степени).
Шаг 1. Обе степени чётные (вторая степень синуса), применяем формулу понижения степени: \[\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}.\]
Шаг 2. Разбиваем интеграл на сумму: \[\int \sin^2 x\,dx = \frac12\int (1-\cos 2x)\,dx = \frac12\int dx - \frac12\int \cos 2x\,dx.\]
Шаг 3. Первый интеграл равен \(x\); во втором учитываем внутреннюю функцию \(2x\): \(\displaystyle\int \cos 2x\,dx = \frac{\sin 2x}{2}+C\). Итого: \[\int \sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C.\]
Пример 3. Вычислить \(\displaystyle\int \frac{dx}{5+4\sin x}\) (универсальная подстановка).
Шаг 1. Полагаем \(t=\operatorname{tg}\dfrac{x}{2}\). Тогда \[\sin x = \frac{2t}{1+t^2},\qquad dx = \frac{2\,dt}{1+t^2}.\]
Шаг 2. Подставляем в интеграл и упрощаем дробь: \[\int \frac{1}{5+4\cdot\frac{2t}{1+t^2}}\cdot\frac{2\,dt}{1+t^2} = \int \frac{2\,dt}{5(1+t^2)+8t} = \int \frac{2\,dt}{5t^2+8t+5}.\]
Шаг 3. Выделяем полный квадрат в знаменателе: \[5t^2+8t+5 = 5\left(t^2+\frac{8}{5}t+1\right) = 5\left[\left(t+\frac{4}{5}\right)^2+\frac{9}{25}\right].\]
Шаг 4. Приходим к табличному интегралу вида \(\displaystyle\int\frac{du}{u^2+a^2}=\frac1a\operatorname{arctg}\frac{u}{a}+C\), где \(u=t+\dfrac45\), \(a=\dfrac35\): \[\int \frac{2\,dt}{5\left[\left(t+\frac45\right)^2+\left(\frac35\right)^2\right]} = \frac{2}{5}\cdot\frac{5}{3}\,\operatorname{arctg}\frac{t+\frac45}{\frac35}+C = \frac{2}{3}\,\operatorname{arctg}\frac{5t+4}{3}+C.\]
Шаг 5. Возвращаемся к переменной \(x\): \[\int \frac{dx}{5+4\sin x} = \frac{2}{3}\,\operatorname{arctg}\frac{5\operatorname{tg}\frac{x}{2}+4}{3}+C.\]