Ответы. Производная: определение, правила, сложная функция

Подготовка к экзамену «Элементы высшей математики» · Вопросы №1–3 · Ответы к 50 задачам

Уровень А (№1–20)
  1. \(y'=5x^{4}-12x^{2}+7\).
  2. \(y'=\dfrac{3}{2\sqrt{x}}-\dfrac{2}{x^{2}}\).
  3. \(y'=20x^{3}+\dfrac{3}{x^{4}}+\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}\).
  4. \(y'=2\cos x+3\sin x\).
  5. \(y'=4e^{x}+2^{x}\ln 2\).
  6. \(y'=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x\ln 2}\).
  7. \(y'=\dfrac{1}{\cos^{2}x}-\dfrac{1}{\sin^{2}x}\).
  8. \(y'=3x^{2}\sin x+x^{3}\cos x\).
  9. \(y'=e^{x}(\cos x-\sin x)\).
  10. \(y'=\dfrac{\ln x}{2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}=\dfrac{\ln x+2}{2\sqrt{x}}\).
  11. \(y'=\dfrac{2x(x-3)-(x^{2}+1)}{(x-3)^{2}}=\dfrac{x^{2}-6x-1}{(x-3)^{2}}\).
  12. \(y'=\dfrac{-x^{2}\sin x-2x\cos x}{x^{4}}=-\dfrac{x\sin x+2\cos x}{x^{3}}\).
  13. \(y'=\dfrac{e^{x}(x+1)-e^{x}}{(x+1)^{2}}=\dfrac{x\,e^{x}}{(x+1)^{2}}\).
  14. \(y'=10(2x-7)^{9}\cdot 2=20(2x-7)^{9}\).
  15. \(y'=5\cos 5x\).
  16. \(y'=3e^{3x+1}\).
  17. \(y'=\dfrac{4}{4x-1}\).
  18. \(y'=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}\).
  19. \(y'=-2x\sin(x^{2})\).
  20. \(v(t)=s'(t)=3t^{2}-12t+9\); \(v(4)=48-48+9=9\) м/с.
Уровень Б (№21–40)
  1. \(y'=3\sin^{2}2x\cdot\cos 2x\cdot 2=6\sin^{2}2x\,\cos 2x\).
  2. \(y'=\dfrac{-\sin x}{\cos x}=-\operatorname{tg}x\).
  3. \(y'=e^{\sin x}\cos x\).
  4. \(y'=\dfrac{1}{2\sqrt{1+\operatorname{tg}x}}\cdot\dfrac{1}{\cos^{2}x}=\dfrac{1}{2\cos^{2}x\,\sqrt{1+\operatorname{tg}x}}\).
  5. \(y'=2\ln(3x+2)\cdot\dfrac{3}{3x+2}=\dfrac{6\ln(3x+2)}{3x+2}\).
  6. \(y'=-\sin\!\sqrt{x^{2}+1}\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\).
  7. \(y'=\dfrac{3}{\sqrt{1-9x^{2}}}\).
  8. \(y'=\dfrac{1/2}{1+x^{2}/4}=\dfrac{2}{4+x^{2}}\).
  9. \(y'=-\dfrac{2x}{\sqrt{1-x^{4}}}\).
  10. \(y'=\operatorname{arctg}x+\dfrac{x}{1+x^{2}}-\dfrac{x}{1+x^{2}}=\operatorname{arctg}x\).
  11. \(y'=2x\,e^{-x^{2}}+x^{2}e^{-x^{2}}(-2x)=2x\,e^{-x^{2}}\,(1-x^{2})\).
  12. \(y'=\dfrac{\frac{1}{x}(x^{2}+1)-2x\ln x}{(x^{2}+1)^{2}}=\dfrac{x^{2}+1-2x^{2}\ln x}{x\,(x^{2}+1)^{2}}\).
  13. \(y=\dfrac{\sin 2x}{1+\cos 2x}=\operatorname{tg}x\), поэтому \(y'=\dfrac{1}{\cos^{2}x}=\dfrac{2}{1+\cos 2x}\).
  14. \(y'=\dfrac{3^{2x}}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\cdot 3^{2x}\cdot 2\ln 3=3^{2x}\!\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+2\sqrt{x}\,\ln 3\right)\).
  15. \(y'=\dfrac{10\,\operatorname{tg}5x}{\cos^{2}5x}+\dfrac{2x}{x^{2}+4}\).
  16. \(f'(x)=2\sin x\cos x=\sin 2x\); \(f'\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
  17. \(f'(x)=\dfrac{4x}{(x^{2}+1)^{2}}\); \(f'(1)=\dfrac{4}{4}=1\).
  18. \(y'=4x^{3}-6x+\dfrac{1}{x}\); \(y''=12x^{2}-6-\dfrac{1}{x^{2}}\).
  19. \(y'=\sin x+x\cos x\); \(y''=2\cos x-x\sin x\).
  20. \(y'=e^{2x}(2\cos x-\sin x)\); \(y''=e^{2x}(3\cos x-4\sin x)\); \(y''(0)=3\).
Уровень В (№41–50)
  1. \(\Delta y=3x^{2}\Delta x+3x(\Delta x)^{2}+(\Delta x)^{3}\), \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=3x^{2}+3x\Delta x+(\Delta x)^{2}\xrightarrow[\Delta x\to 0]{}3x^{2}\). Ответ: \(f'(x)=3x^{2}\).
  2. \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{1}{\Delta x}\!\left(\dfrac{1}{x+\Delta x+2}-\dfrac{1}{x+2}\right)=\dfrac{-1}{(x+2)(x+\Delta x+2)}\xrightarrow[\Delta x\to 0]{}-\dfrac{1}{(x+2)^{2}}\). Ответ: \(f'(x)=-\dfrac{1}{(x+2)^{2}}\).
  3. \(\dfrac{\sqrt{9+2\Delta x}-3}{\Delta x}=\dfrac{2}{\sqrt{9+2\Delta x}+3}\xrightarrow[\Delta x\to 0]{}\dfrac{2}{6}\). Ответ: \(f'(4)=\dfrac{1}{3}\).
  4. \(y^{(n)}=3^{n}e^{3x}\).
  5. \(y^{(n)}=\dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x)^{n}}\).
  6. \(y^{(n)}=2^{n}\sin\!\left(2x+\dfrac{\pi n}{2}\right)\).
  7. \(y'=x\), \(y''=1\). Левая часть: \(1+(y')^{2}=1+x^{2}\); правая часть: \(2y\,y''=2\cdot\dfrac{x^{2}+1}{2}\cdot 1=x^{2}+1\). Тождество выполнено.
  8. \(y'=e^{-x}-x e^{-x}=(1-x)e^{-x}\), поэтому \(x y'=x(1-x)e^{-x}=(1-x)\cdot x e^{-x}=(1-x)\,y\). Тождество выполнено.
  9. \(y'=\dfrac{\dfrac{6\arcsin 3x}{\sqrt{1-9x^{2}}}\,(1+\sqrt{x})-\arcsin^{2}3x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{(1+\sqrt{x})^{2}}\).
  10. \(\bigl(\ln(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}})\bigr)'=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\); \(\bigl(\operatorname{arctg}\sqrt{e^{2x}-1}\bigr)'=\dfrac{1}{e^{2x}}\cdot\dfrac{e^{2x}}{\sqrt{e^{2x}-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\). Ответ: \(y'=\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\).