Ответы. Касательная и нормаль

Подготовка к экзамену «Элементы высшей математики» · Вопрос №4 · Геометрический смысл производной · 50 ответов

Уровень А (№1–20)
  1. \(y'=2x\), \(k=f'(3)=6\).
  2. \(f(1)=2\), \(f'(1)=2\); касательная \(y=2x\).
  3. \(f(0)=3\), \(f'(0)=-4\); касательная \(y=-4x+3\).
  4. \(f(2)=-2\), \(f'(2)=1\); касательная \(y=x-4\), нормаль \(y=-x\).
  5. \(f(1)=1\), \(f'(1)=3\); касательная \(y=3x-2\).
  6. \(f(1)=3\), \(f'(1)=4\); нормаль \(y=-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{13}{4}\).
  7. \(f'(x)=3x^2-2\), \(\operatorname{tg}\alpha=f'(-1)=1\).
  8. \(f'(1)=2\cdot1-1=1\), значит \(\alpha=45^\circ\).
  9. \(f'(x)=x^2-2x\), \(f'(3)=3\); угол \(\alpha=\operatorname{arctg}3\;(\approx 71,6^\circ)\).
  10. \(f(2)=-1\), \(f'(2)=3\); касательная \(y=3x-7\).
  11. \(f(0)=0\), \(f'(0)=1\); касательная \(y=x\), нормаль \(y=-x\).
  12. \(f(1)=1\), \(f'(1)=-1\); касательная \(y=-x+2\).
  13. \(f(4)=2\), \(f'(4)=\dfrac{1}{4}\); касательная \(y=\dfrac{x}{4}+1\).
  14. \(f(1)=1\), \(f'(1)=\dfrac{1}{2}\); нормаль \(y=-2x+3\).
  15. \(f'(x_0)=\operatorname{tg}135^\circ=-1\).
  16. \(f(2)=5\cdot2-7=3\), \(f'(2)=5\).
  17. \(f(1)=-1\), \(f'(1)=4x^3-4x\big|_{x=1}=0\); касательная \(y=-1\) (горизонтальна).
  18. Точка пересечения с \(Oy\): \((0;0)\); \(f'(0)=3\); касательная \(y=3x\).
  19. Точки \((\pm 2;0)\), \(y'=2x\). В \((2;0)\): \(y=4x-8\); в \((-2;0)\): \(y=-4x-8\).
  20. \(y'=2x-6=0\Rightarrow x_0=3\), \(f(3)=-4\). Точка \((3;-4)\), касательная \(y=-4\).
Уровень Б (№21–40)
  1. \(2x_0+3=5\Rightarrow x_0=1\), \(f(1)=4\); касательная \(y=5x-1\).
  2. \(3x_0^2=3\Rightarrow x_0=\pm1\). Касательные: \(y=3x-2\) (в точке \((1;1)\)) и \(y=3x+2\) (в точке \((-1;-1)\)).
  3. Прямая \(x+2y-3=0\) имеет \(k=-\dfrac{1}{2}\), значит \(k_{\text{кас}}=2\); \(2x_0-2=2\Rightarrow x_0=2\), \(f(2)=0\); касательная \(y=2x-4\).
  4. Нормаль в \((1;1)\): \(y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}\). Из \(x^2=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{2}\): \(2x^2+x-3=0\), \(x=-\dfrac{3}{2}\); повторное пересечение в точке \(\left(-\dfrac{3}{2};\dfrac{9}{4}\right)\).
  5. \(y'=3x^2-12=0\Rightarrow x=\pm2\); точки \((2;-9)\) и \((-2;23)\).
  6. \(y'=6x^2-6x-12=0\Rightarrow x=2,\;x=-1\); точки \((2;-16)\) и \((-1;11)\).
  7. \(y'=x_0^2-4x_0+5=\operatorname{tg}45^\circ=1\Rightarrow x_0^2-4x_0+4=0\Rightarrow x_0=2\).
  8. \(y'=-\dfrac{2}{(x-1)^2}\), \(f(2)=3\), \(f'(2)=-2\); касательная \(y=-2x+7\).
  9. \(f(2)=2\), \(f'(2)=-\dfrac{4}{4}=-1\); касательная \(y=-x+4\), нормаль \(y=x\).
  10. \(f(4)=3\), \(y'=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}\), \(f'(4)=\dfrac{1}{3}\); касательная \(y=\dfrac{x}{3}+\dfrac{5}{3}\).
  11. \(f(0)=0\), \(f'(0)=\cos 0=1\); касательная \(y=x\).
  12. \(f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\), \(f'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-1\); касательная \(y=-x+\dfrac{\pi}{2}\).
  13. \(f\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1\), \(f'=\dfrac{1}{\cos^2 x}\Rightarrow f'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=2\); касательная \(y=2x+1-\dfrac{\pi}{2}\), нормаль \(y=-\dfrac{x}{2}+1+\dfrac{\pi}{8}\).
  14. \(f(0)=1\), \(f'(0)=1\); касательная \(y=x+1\).
  15. \(f(1)=0\), \(f'(1)=1\); касательная \(y=x-1\), пересекает ось \(Oy\) в точке \((0;-1)\).
  16. \(2x_0=4\Rightarrow x_0=2\), \(y_0=4\); из \(4=4\cdot2+b\) получаем \(b=-4\).
  17. \(v(t)=6t^2-6t\), \(v(2)=12\) м/с; \(a(t)=12t-6\), \(a(2)=18\) м/с\(^2\).
  18. \(v(t)=2t-8=0\Rightarrow t=4\) с.
  19. \(v(t)=3t^2-18t+24=0\Rightarrow t=2\) с и \(t=4\) с; \(a(t)=6t-18\), \(a(4)=6\) м/с\(^2\).
  20. \(v(t)=40-10t\), \(v(3)=10\) м/с; наибольшая высота при \(v=0\), то есть при \(t=4\) с.
Уровень В (№41–50)
  1. Дифференцируя неявно: \(y'=-\dfrac{x}{y}\), в \(M_0(3;4)\): \(y'=-\dfrac{3}{4}\). Касательная \(3x+4y-25=0\) \(\left(y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{25}{4}\right)\); нормаль \(y=\dfrac{4}{3}x\) (проходит через центр окружности).
  2. \(y'=-\dfrac{x}{4y}\), в \(M_0(2;1)\): \(y'=-\dfrac{1}{2}\); касательная \(y=-\dfrac{x}{2}+2\), то есть \(x+2y-4=0\).
  3. \(2x+y+xy'+2yy'=0\Rightarrow y'=-\dfrac{2x+y}{x+2y}\), в \((1;1)\): \(y'=-1\); касательная \(y=-x+2\) \((x+y-2=0)\).
  4. При \(t=1\) точка \((1;1)\); \(y'_x=\dfrac{3t^2}{2t}=\dfrac{3}{2}\). Касательная \(y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{2}\), нормаль \(y=-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{5}{3}\).
  5. Точка \(\left(\dfrac{\sqrt2}{2};\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\); \(y'_x=\dfrac{\cos t}{-\sin t}=-1\); касательная \(y=-x+\sqrt{2}\).
  6. Касательная в точке \((a;a^2)\): \(y=2ax-a^2\); из \(-4=-a^2\) получаем \(a=\pm2\). Касательные: \(y=4x-4\) и \(y=-4x-4\).
  7. Касательная в точке \((a;a^2+1)\): \(y=2ax-a^2+1\); из \(-2=2a-a^2+1\): \(a^2-2a-3=0\), \(a=3\) или \(a=-1\). Касательные: \(y=6x-8\) и \(y=-2x\).
  8. \(k_1=2\) (для \(y=x^2\)), \(k_2=\dfrac{1}{2}\) (для \(y=\sqrt{x}\)); \(\operatorname{tg}\varphi=\left|\dfrac{\frac12-2}{1+1}\right|=\dfrac{3}{4}\); \(\varphi=\operatorname{arctg}\dfrac{3}{4}\approx 36,9^\circ\).
  9. Подстановка: \(1=1^2\) и \(1=1^2\) — точка \((1;1)\) лежит на обеих кривых. \(k_1=2\), для \(x=y^2\): \(y'=\dfrac{1}{2y}=\dfrac{1}{2}\); \(\operatorname{tg}\varphi=\left|\dfrac{\frac12-2}{1+1}\right|=\dfrac{3}{4}\).
  10. Касательная в \((1;1)\): \(y=-x+2\); отсекает на осях отрезки \(2\) и \(2\); площадь \(S=\dfrac{1}{2}\cdot2\cdot2=2\).