Ответы. Логарифмическая производная. Неявные и параметрические функции

Подготовка к экзамену «Элементы высшей математики» · Вопрос №5 · 50 задач

Уровень А (№1–20)
  1. \( y' = x^{x}\,(\ln x + 1) \).
  2. \( y' = x^{\ln x}\cdot\dfrac{2\ln x}{x} = 2\,x^{\ln x - 1}\ln x \).
  3. \( y' = x^{\sqrt{x}}\cdot\dfrac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}} \).
  4. \( y' = (3x)^{x}\bigl(\ln(3x) + 1\bigr) \).
  5. \( y' = x^{1/x}\cdot\dfrac{1 - \ln x}{x^{2}} \).
  6. \( y' = (x^{2}+1)^{x}\left( \ln(x^{2}+1) + \dfrac{2x^{2}}{x^{2}+1} \right) \).
  7. \( y = x^{x/2} \), поэтому \( y' = x^{x/2}\cdot\dfrac{\ln x + 1}{2} \).
  8. \( y' = -\dfrac{x}{y} \).
  9. \( y' = -\dfrac{y}{x} \); явно \( y = \dfrac{4}{x} \), откуда \( y' = -\dfrac{4}{x^{2}} \) — результаты совпадают.
  10. \( y' = \dfrac{1 - x}{y} \).
  11. \( 3y^{2}y' = 1 \Rightarrow y' = \dfrac{1}{3y^{2}} = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}} \).
  12. \( y' = -\dfrac{x^{2}}{y^{2}} \).
  13. \( y' = \dfrac{2}{y} \); в точке \( (1;\,2) \): \( y' = 1 \).
  14. \( y' = \dfrac{x}{y} \).
  15. \( y' = -\dfrac{y}{x + 1} \).
  16. \( y'_x = \dfrac{3t^{2}}{2t} = \dfrac{3t}{2} \).
  17. \( y'_x = \dfrac{2t}{2} = t = \dfrac{x}{2} \).
  18. \( y'_x = \dfrac{\cos t}{-\sin t} = -\operatorname{ctg} t \).
  19. \( y'_x = 3t^{2} + 1 \).
  20. \( y'_x = \dfrac{2e^{2t}}{e^{t}} = 2e^{t} = 2x \).
Уровень Б (№21–40)
  1. \( y' = (\sin x)^{\cos x}\left( \dfrac{\cos^{2}x}{\sin x} - \sin x\,\ln\sin x \right) \).
  2. \( y' = (\ln x)^{x}\left( \ln\ln x + \dfrac{1}{\ln x} \right) \).
  3. \( y' = (\operatorname{tg} x)^{x}\left( \ln\operatorname{tg} x + \dfrac{2x}{\sin 2x} \right) \).
  4. \( y' = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{(x-1)(x-2)}{x-3}}\left( \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{x-2} - \dfrac{1}{x-3} \right) \).
  5. \( y' = \dfrac{x^{3}\sqrt{1+x^{2}}}{(x+2)^{2}}\left( \dfrac{3}{x} + \dfrac{x}{1+x^{2}} - \dfrac{2}{x+2} \right) \).
  6. \( y' = (x+1)^{2}(x+2)^{3}(x+3)^{4}\left( \dfrac{2}{x+1} + \dfrac{3}{x+2} + \dfrac{4}{x+3} \right) \).
  7. \( y' = \dfrac{1}{3}\sqrt[3]{\dfrac{x^{2}(x-1)}{x+1}}\left( \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x-1} - \dfrac{1}{x+1} \right) \).
  8. \( y' = -\dfrac{y}{e^{y} + x} \); в точке \( (0;\,1) \): \( y' = -\dfrac{1}{e} \).
  9. \( y' = -\dfrac{1 + y\sin(xy)}{x\sin(xy)} \).
  10. \( y' = \dfrac{y\cos^{2}y}{1 - x\cos^{2}y} \).
  11. \( y' = \dfrac{y\sin x - \sin y}{x\cos y + \cos x} \).
  12. \( y' = \dfrac{1 - y\,e^{xy}}{x\,e^{xy} - 1} \).
  13. \( y' = \dfrac{y}{x - y} \).
  14. В точке \( (1;\,1) \): \( y' = -1 \); касательная \( y = 2 - x \) (то есть \( x + y = 2 \)).
  15. В точке \( (1;\,2) \): \( y' = 0 \); касательная \( y = 2 \).
  16. В точке \( (2;\,4) \): \( y' = -\dfrac{1}{2} \); касательная \( y = -\dfrac{x}{2} + 5 \) (то есть \( x + 2y - 10 = 0 \)).
  17. \( y'_x = \dfrac{\sin t}{1 - \cos t} = \operatorname{ctg}\dfrac{t}{2} \); при \( t = \dfrac{\pi}{2} \): \( y'_x = 1 \).
  18. \( y'_x = \dfrac{2\cos t}{-3\sin t} = -\dfrac{2}{3}\operatorname{ctg} t \); при \( t = \dfrac{\pi}{4} \): \( y'_x = -\dfrac{2}{3} \).
  19. \( y'_x = \dfrac{3t^{2} - 3}{2t} \); при \( t = 2 \): \( y'_x = \dfrac{9}{4} \).
  20. \( y'_x = \dfrac{\sin t + \cos t}{\cos t - \sin t} = \operatorname{tg}\!\left( t + \dfrac{\pi}{4} \right) \).
Уровень В (№41–50)
  1. \( y' = -\dfrac{x}{y} \), \( y'' = -\dfrac{x^{2} + y^{2}}{y^{3}} = -\dfrac{25}{y^{3}} \).
  2. \( y' = \dfrac{1}{1 + e^{y}} \), \( y'' = -\dfrac{e^{y}}{(1 + e^{y})^{3}} \); в точке \( (1;\,0) \): \( y' = \dfrac{1}{2} \), \( y'' = -\dfrac{1}{8} \).
  3. В точке \( (1;\,1) \): \( y' = -\dfrac{5}{8} \), \( y'' = \dfrac{111}{256} \), поэтому \( d^{2}y = \dfrac{111}{256}\,dx^{2} \).
  4. \( y''_{xx} = \dfrac{3}{4t} \); при \( t = 1 \): \( y''_{xx} = \dfrac{3}{4} \).
  5. \( y''_{xx} = -\dfrac{1}{\sin^{3}t} \); при \( t = \dfrac{\pi}{6} \): \( y''_{xx} = -8 \).
  6. \( y'_x = 2t^{2} \), \( y''_{xx} = 4t^{2} \); при \( t = 1 \): \( y''_{xx} = 4 \).
  7. \( y''_{xx} = -\dfrac{1}{4\sin^{4}\dfrac{t}{2}} = -\dfrac{1}{(1 - \cos t)^{2}} \); при \( t = \dfrac{\pi}{2} \): \( y''_{xx} = -1 \).
  8. \( y' = -\dfrac{2x + y}{x + 2y} \), \( y'' = -\dfrac{42}{(x + 2y)^{3}} \); в точке \( (1;\,2) \): \( y' = -\dfrac{4}{5} \), \( y'' = -\dfrac{42}{125} \).
  9. \( y'_x = \dfrac{3(1 - t^{2})}{2(1 - t)} = \dfrac{3(1 + t)}{2} = 0 \) при \( t = -1 \); \( y''_{xx} = \dfrac{3}{2\,(2 - 2t)} \), при \( t = -1 \): \( y''_{xx} = \dfrac{3}{8} \).
  10. \( y' = \dfrac{2}{5y^{4} + 1} \), \( y'' = -\dfrac{80y^{3}}{(5y^{4} + 1)^{3}} \); в точке \( (1;\,1) \): \( y' = \dfrac{1}{3} \), \( y'' = -\dfrac{10}{27} \).