Ответы. Дифференциал

Подготовка к экзамену «Элементы высшей математики» · Вопросы №6–7 · Ответы к 50 задачам

Уровень А (№1–20)
  1. \(dy=5x^4\,dx\).
  2. \(dy=(6x-4)\,dx\).
  3. \(dy=\dfrac{dx}{2\sqrt{x}}\).
  4. \(dy=-\dfrac{dx}{x^2}\).
  5. \(dy=(\cos x-\sin x)\,dx\).
  6. \(dy=(e^x-2)\,dx\).
  7. \(dy=\left(\dfrac{1}{x}+2x\right)dx\).
  8. \(dy=\dfrac{dx}{\cos^2 x}\).
  9. \(dy=x^2 e^x(x+3)\,dx\).
  10. \(dy=\dfrac{dx}{(x+1)^2}\).
  11. \(dy=(\sin x+x\cos x)\,dx\).
  12. \(dy=\dfrac{5\,dx}{3\sqrt[3]{x^2}}\).
  13. \(y'(2)=2\cdot 2-3=1\), \(dy=1\cdot 0{,}1=0{,}1\).
  14. \(y'(1)=3\), \(dy=3\cdot 0{,}05=0{,}15\).
  15. \(y'(9)=\dfrac{1}{6}\), \(dy=\dfrac{0{,}6}{6}=0{,}1\).
  16. \(y'(e)=\dfrac{1}{e}\), \(dy=\dfrac{0{,}2}{e}\approx 0{,}0736\).
  17. \(\Delta y=3{,}1^2-9=0{,}61\); \(dy=2\cdot 3\cdot 0{,}1=0{,}6\); \(\Delta y-dy=0{,}01=(\Delta x)^2\).
  18. \(\Delta y=5{,}01^2-25=0{,}1001\); \(dy=0{,}1\); \(\Delta y-dy=0{,}0001\) — уменьшилась в 100 раз (было \(0{,}01\)).
  19. \(\Delta y=(x+\Delta x)^2-x^2=2x\,\Delta x+(\Delta x)^2\), \(dy=2x\,\Delta x\); отсюда \(\Delta y-dy=(\Delta x)^2\).
  20. \(y'\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=-\sin\tfrac{\pi}{6}=-0{,}5\), \(dy=-0{,}5\cdot 0{,}02=-0{,}01\).
Уровень Б (№21–40)
  1. \(dy=3\cos 3x\,dx\).
  2. \(dy=10(2x-1)^4\,dx\).
  3. \(dy=\dfrac{x\,dx}{\sqrt{x^2+4}}\).
  4. \(dy=\dfrac{2x\,dx}{x^2+1}\).
  5. \(dy=-2x\,e^{-x^2}\,dx\).
  6. \(dy=\dfrac{2\,dx}{1+4x^2}\).
  7. \(dy=-3\cos^2 x\,\sin x\,dx\).
  8. \(dy=e^{2x}(1+2x)\,dx\).
  9. \(dy=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\,dx\).
  10. \(dy=\dfrac{dx}{2\sqrt{\operatorname{tg}x}\,\cos^2 x}\).
  11. \(\sqrt{25{,}3}\approx 5+\dfrac{0{,}3}{2\cdot 5}=5{,}03\) (точнее \(5{,}0299\)).
  12. \(\sqrt[3]{27{,}54}\approx 3+\dfrac{0{,}54}{3\cdot 9}=3{,}02\).
  13. \(\sqrt{0{,}98}\approx 1-\dfrac{0{,}02}{2}=0{,}99\) (точнее \(0{,}98995\)).
  14. \(\sin 1^\circ\approx \dfrac{\pi}{180}\approx 0{,}0175\).
  15. \(\ln 1{,}02\approx 0{,}02\) (точнее \(0{,}0198\)).
  16. \(\operatorname{arctg}1{,}05\approx \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{0{,}05}{2}\approx 0{,}7854+0{,}025=0{,}8104\).
  17. \(1{,}997^4\approx 2^4+4\cdot 2^3\cdot(-0{,}003)=16-0{,}096=15{,}904\).
  18. \(d^2y=(12x^2-6)\,dx^2\).
  19. \(d^2y=-4\sin 2x\,dx^2\).
  20. \(y''=\dfrac{1}{x}\), \(d^2y=\dfrac{dx^2}{x}\); при \(x_0=1\), \(dx=0{,}1\): \(d^2y=0{,}01\).
Уровень В (№41–50)
  1. \(\cos 61^\circ\approx \cos 60^\circ-\sin 60^\circ\cdot\dfrac{\pi}{180}=0{,}5-0{,}8660\cdot 0{,}01745\approx 0{,}4849\).
  2. \(\sqrt[5]{31{,}8}\approx 2+\dfrac{1}{80}\cdot(-0{,}2)=2-0{,}0025=1{,}9975\).
  3. \(\dfrac{1}{\sqrt{1{,}04}}\approx 1-\dfrac{1}{2}\cdot 0{,}04=0{,}98\) (точнее \(0{,}9806\)).
  4. \(e^{0{,}03}\approx 1+0{,}03=1{,}03\) (точно \(1{,}03045\), поправка \(\approx 0{,}00045\)); \(\ln 0{,}97\approx -0{,}03\) (точно \(-0{,}03046\), поправка \(\approx 0{,}00046\)). Оценки практически равноточны, оценка для \(e^{0{,}03}\) чуть точнее.
  5. \(dy=-\dfrac{x}{y}\,dx\); в точке \(M(3;4)\): \(dy=-\dfrac{3}{4}\cdot 0{,}1=-0{,}075\).
  6. \(dy=\dfrac{y-x^2}{y^2-x}\,dx\).
  7. \(y''=2e^x\cos x\), поэтому \(d^2y=2e^x\cos x\,dx^2\).
  8. \(y''=\dfrac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}\), поэтому \(d^2y=\dfrac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}\,dx^2\).
  9. \(\Delta V\approx dV=3a^2\,\Delta a=3\cdot 100\cdot 0{,}02=6\) см\(^3\); относительная погрешность \(\dfrac{dV}{V}=\dfrac{6}{1000}=0{,}006=0{,}6\%\).
  10. \(y(3)=3\), \(y'(3)=4\); касательная \(y=4x-9\). Приращение ординаты касательной: \(4\cdot 0{,}5=2=dy\). При этом \(\Delta y=y(3{,}5)-y(3)=5{,}25-3=2{,}25\); \(\Delta y-dy=0{,}25=(\Delta x)^2\).