Ответы. Исследование функций

Подготовка к экзамену «Элементы высшей математики» · Вопрос №8 · Ответы к 50 задачам

Уровень А (№1–20)
  1. \(y'=2x-4\). Убывает на \((-\infty;2]\), возрастает на \([2;+\infty)\); \(y_{\min}=y(2)=-1\).
  2. \(y'=3(x-1)(x+1)\). Возрастает на \((-\infty;-1]\) и \([1;+\infty)\), убывает на \([-1;1]\); \(y_{\max}=y(-1)=2\), \(y_{\min}=y(1)=-2\).
  3. \(y'=6(x-1)(x-2)\); \(y_{\max}=y(1)=2\), \(y_{\min}=y(2)=1\).
  4. \(y'=3(x+3)(x-1)\). Возрастает на \((-\infty;-3]\) и \([1;+\infty)\), убывает на \([-3;1]\); \(y_{\max}=y(-3)=28\), \(y_{\min}=y(1)=-4\).
  5. \(y'=4x(x-1)(x+1)\); точки минимума \(x=-1\) и \(x=1\) (\(y=-1\)), точка максимума \(x=0\) (\(y=0\)).
  6. \(y'=12x^2(x-1)\). Убывает на \((-\infty;1]\), возрастает на \([1;+\infty)\); \(y_{\min}=y(1)=-1\) (в точке \(x=0\) экстремума нет).
  7. \(y'=3(x-1)(x-3)\); \(y_{\max}=y(1)=6\), \(y_{\min}=y(3)=2\).
  8. \(y'=3x^2+2>0\) при всех \(x\), значит функция возрастает на всей числовой прямой.
  9. \(y'=-3(x+1)(x-3)\); точка минимума \(x=-1\) (\(y=-6\)), точка максимума \(x=3\) (\(y=26\)).
  10. \(y'=4x(x-1)(x-2)\). Убывает на \((-\infty;0]\) и \([1;2]\), возрастает на \([0;1]\) и \([2;+\infty)\); \(y_{\min}(0)=0\), \(y_{\max}(1)=1\), \(y_{\min}(2)=0\).
  11. Критическая точка \(x=3\): \(y(0)=5\), \(y(3)=-4\), \(y(4)=-3\). Наибольшее \(5\) при \(x=0\), наименьшее \(-4\) при \(x=3\).
  12. \(y'=3x(x-2)\): \(y(-1)=-2\), \(y(0)=2\), \(y(2)=-2\), \(y(4)=18\). Наибольшее \(18\) при \(x=4\), наименьшее \(-2\) при \(x=-1\) и \(x=2\).
  13. \(y'=3x^2-12\), \(x=2\in[0;3]\): \(y(0)=7\), \(y(2)=-9\), \(y(3)=-2\). Наибольшее \(7\) при \(x=0\), наименьшее \(-9\) при \(x=2\).
  14. \(y'=4x(x^2-4)\), в отрезке \(x=0\) и \(x=2\): \(y(-1)=-2\), \(y(0)=5\), \(y(2)=-11\), \(y(3)=14\). Наибольшее \(14\) при \(x=3\), наименьшее \(-11\) при \(x=2\).
  15. \(y'=6(x+2)(x-1)\): \(y(-3)=9\), \(y(-2)=20\), \(y(1)=-7\), \(y(2)=4\). Наибольшее \(20\) при \(x=-2\), наименьшее \(-7\) при \(x=1\).
  16. \(y''=6x-12\). Выпуклый вверх на \((-\infty;2)\), выпуклый вниз (вогнутый) на \((2;+\infty)\); перегиб при \(x=2\), \(y(2)=-9\).
  17. \(y''=6x+6=0\) при \(x=-1\); точка перегиба \((-1;9)\).
  18. \(y''=6x-24\). Выпуклый вверх на \((-\infty;4)\), выпуклый вниз на \((4;+\infty)\); точка перегиба \((4;-108)\).
  19. \(y''=12x^2-12=0\) при \(x=\pm1\); точки перегиба \((-1;-2)\) и \((1;-2)\).
  20. \(y''=12x-6\). Выпуклый вверх на \(\left(-\infty;\tfrac12\right)\), выпуклый вниз на \(\left(\tfrac12;+\infty\right)\); точка перегиба \(\left(\tfrac12;-4\right)\).
Уровень Б (№21–40)
  1. \(y'=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\). Убывает на \((-\infty;-1]\) и \([1;+\infty)\), возрастает на \([-1;1]\); \(y_{\min}=y(-1)=-\tfrac12\), \(y_{\max}=y(1)=\tfrac12\).
  2. \(y=x+\dfrac4x\), \(y'=1-\dfrac{4}{x^2}\). Возрастает на \((-\infty;-2]\) и \([2;+\infty)\), убывает на \([-2;0)\) и \((0;2]\); \(y_{\max}=y(-2)=-4\), \(y_{\min}=y(2)=4\).
  3. \(y'=\dfrac{x(x-4)}{(x-2)^2}\); \(y_{\max}=y(0)=0\), \(y_{\min}=y(4)=8\).
  4. \(y'=\dfrac{3}{(x+2)^2}>0\); функция возрастает на \((-\infty;-2)\) и на \((-2;+\infty)\); экстремумов нет.
  5. \(y'=1-\dfrac{9}{x^2}\); \(y_{\max}=y(-3)=-6\), \(y_{\min}=y(3)=6\).
  6. \(y'=(x+1)e^{x}\). Убывает на \((-\infty;-1]\), возрастает на \([-1;+\infty)\); \(y_{\min}=y(-1)=-\dfrac1e\).
  7. \(y'=x(2-x)e^{-x}\); \(y_{\min}=y(0)=0\), \(y_{\max}=y(2)=\dfrac{4}{e^2}\).
  8. \(y'=e^{x}-1\). Убывает на \((-\infty;0]\), возрастает на \([0;+\infty)\) (минимум \(y(0)=1\)).
  9. \(D(y)=(0;+\infty)\), \(y'=\dfrac{x-2}{x}\); \(y_{\min}=y(2)=2-2\ln 2\).
  10. \(D(y)=(0;+\infty)\), \(y'=\dfrac{2(x^2-4)}{x}\). Убывает на \((0;2]\), возрастает на \([2;+\infty)\); \(y_{\min}=y(2)=4-8\ln 2\).
  11. \(y'=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\); \(y_{\max}=y(e)=\dfrac1e\).
  12. \(y'=(1-x)e^{-x}\), \(x=1\in[0;2]\): \(y(0)=0\), \(y(1)=\dfrac1e\approx0{,}368\), \(y(2)=\dfrac{2}{e^2}\approx0{,}271\). Наибольшее \(\dfrac1e\) при \(x=1\), наименьшее \(0\) при \(x=0\).
  13. \(y'=\dfrac{x-1}{x}\), \(x=1\): \(y\!\left(\tfrac12\right)=\tfrac12+\ln 2\approx1{,}19\), \(y(1)=1\), \(y(e)=e-1\approx1{,}72\). Наибольшее \(e-1\) при \(x=e\), наименьшее \(1\) при \(x=1\).
  14. Вертикальная асимптота \(x=1\), горизонтальная \(y=2\).
  15. \(y=x+\dfrac1x\): вертикальная асимптота \(x=0\), наклонная \(y=x\).
  16. \(y=x-5+\dfrac{10}{x+2}\): вертикальная асимптота \(x=-2\), наклонная \(y=x-5\).
  17. Вертикальные асимптоты \(x=-2\) и \(x=2\), горизонтальная \(y=3\).
  18. Вертикальная асимптота \(x=2\), наклонная \(y=x\).
  19. \(y'=3(x+1)(x-3)\), \(y''=6x-6\): \(y''(-1)=-12<0\) — максимум, \(y_{\max}=y(-1)=10\); \(y''(3)=12>0\) — минимум, \(y_{\min}=y(3)=-22\).
  20. \(y'=6(x-2)(x-3)\), \(y''=12x-30\): \(y''(2)=-6<0\) — максимум, \(y_{\max}=y(2)=14\); \(y''(3)=6>0\) — минимум, \(y_{\min}=y(3)=13\).
Уровень В (№41–50)
  1. \(D(y)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty)\). Асимптоты: \(x=1\), \(y=x+1\). \(y'=\dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}\): возрастает на \((-\infty;0]\) и \([2;+\infty)\), убывает на \([0;1)\) и \((1;2]\); \(y_{\max}=y(0)=0\), \(y_{\min}=y(2)=4\). \(y''=\dfrac{2}{(x-1)^3}\): выпуклый вверх при \(x<1\), вниз при \(x>1\); перегибов нет.
  2. \(D(y)=x\ne\pm1\), функция чётная; \(y=1+\dfrac{2}{x^2-1}\). Асимптоты: \(x=\pm1\), \(y=1\). \(y'=\dfrac{-4x}{(x^2-1)^2}\): возрастает на \((-\infty;-1)\) и \((-1;0]\), убывает на \([0;1)\) и \((1;+\infty)\); \(y_{\max}=y(0)=-1\). \(y''=\dfrac{4(3x^2+1)}{(x^2-1)^3}\): выпуклый вверх на \((-1;1)\), вниз при \(|x|>1\); перегибов нет.
  3. \(D(y)=x\ne\pm1\), функция нечётная. Асимптоты: \(x=\pm1\), \(y=x\). \(y'=\dfrac{x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2}\): возрастает на \((-\infty;-\sqrt3\,]\) и \([\sqrt3;+\infty)\), убывает между ними (кроме \(x=\pm1\)); \(y_{\max}=y(-\sqrt3)=-\dfrac{3\sqrt3}{2}\), \(y_{\min}=y(\sqrt3)=\dfrac{3\sqrt3}{2}\). \(y''=\dfrac{2x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}\): точка перегиба \((0;0)\); выпуклый вверх на \((-\infty;-1)\) и \((0;1)\), вниз на \((-1;0)\) и \((1;+\infty)\).
  4. \(D(y)=\mathbb{R}\). \(y'=(1-x)e^{-x}\): возрастает на \((-\infty;1]\), убывает на \([1;+\infty)\); \(y_{\max}=y(1)=\dfrac1e\). \(y''=(x-2)e^{-x}\): точка перегиба \(\left(2;\dfrac{2}{e^2}\right)\); выпуклый вверх при \(x<2\), вниз при \(x>2\). Горизонтальная асимптота \(y=0\) при \(x\to+\infty\); график проходит через \((0;0)\).
  5. \(D(y)=(0;+\infty)\). \(y'=\dfrac{x-1}{x}\): убывает на \((0;1]\), возрастает на \([1;+\infty)\); \(y_{\min}=y(1)=1\). \(y''=\dfrac{1}{x^2}>0\): всюду выпуклый вниз, перегибов нет. Вертикальная асимптота \(x=0\) (\(y\to+\infty\) при \(x\to0^+\)); наклонных асимптот нет.
  6. \(D(y)=\mathbb{R}\), функция нечётная. \(y'=\dfrac{4(4-x^2)}{(x^2+4)^2}\): убывает на \((-\infty;-2]\) и \([2;+\infty)\), возрастает на \([-2;2]\); \(y_{\min}=y(-2)=-1\), \(y_{\max}=y(2)=1\). \(y''=\dfrac{8x(x^2-12)}{(x^2+4)^3}\): точки перегиба \(\left(-2\sqrt3;-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\), \((0;0)\), \(\left(2\sqrt3;\dfrac{\sqrt3}{2}\right)\). Горизонтальная асимптота \(y=0\).
  7. Квадрат со стороной \(10\) см; \(S_{\max}=100\) см\(^2\) (при \(a+b=20\), \(S=a(20-a)\), максимум при \(a=10\)).
  8. \(h=\dfrac{16}{r^2}\), \(S=2\pi r^2+\dfrac{32\pi}{r}\), \(S'=4\pi r-\dfrac{32\pi}{r^2}=0\Rightarrow r=2\) дм, \(h=4\) дм; \(S_{\min}=24\pi\) дм\(^2\).
  9. \(36=18+18\); наибольшее произведение \(18\cdot18=324\).
  10. \(y=x+\dfrac{1}{4x}\), \(y'=1-\dfrac{1}{4x^2}=0\Rightarrow x=\dfrac12\); искомое число \(x=\dfrac12\), наименьшая сумма равна \(1\).