Ответы. Интегрирование по частям

Подготовка к экзамену «Элементы высшей математики» · Вопрос №11 (вторая часть) · ответы к 50 задачам

Уровень А (№1–20)
  1. \(-x\cos x + \sin x + C\)
  2. \(x\sin x + \cos x + C\)
  3. \((x-1)\,e^{x} + C\)
  4. \(-(x+1)\,e^{-x} + C\)
  5. \(\dfrac{x\sin 3x}{3} + \dfrac{\cos 3x}{9} + C\)
  6. \(-\dfrac{x\cos 2x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} + C\)
  7. \(\dfrac{e^{3x}(3x+2)}{9} + C\)
  8. \(-(2x-1)\cos x + 2\sin x + C\)
  9. \(2(x-2)\,e^{x/2} + C\)
  10. \(\dfrac{(3-x)\sin 2x}{2} - \dfrac{\cos 2x}{4} + C\)
  11. \(x\ln x - x + C\)
  12. \(\dfrac{x^{2}}{2}\ln x - \dfrac{x^{2}}{4} + C\)
  13. \(-\dfrac{\ln x + 1}{x} + C\)
  14. \(\dfrac{2}{3}x^{3/2}\ln x - \dfrac{4}{9}x^{3/2} + C = \dfrac{2}{9}x\sqrt{x}\,(3\ln x - 2) + C\)
  15. \(x\,\mathrm{arctg}\,x - \dfrac{1}{2}\ln(1+x^{2}) + C\)
  16. \(x\arcsin x + \sqrt{1-x^{2}} + C\)
  17. \(\dfrac{x\cdot 2^{x}}{\ln 2} - \dfrac{2^{x}}{\ln^{2}2} + C\)
  18. \((2x+1)\,e^{x} + C\)
  19. \(-2x\cos\dfrac{x}{2} + 4\sin\dfrac{x}{2} + C\)
  20. \((x+2)\sin x + \cos x + C\)
Уровень Б (№21–40)
  1. \((x^{2}-2x+2)\,e^{x} + C\)
  2. \(-x^{2}\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C\)
  3. \(x^{2}\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C\)
  4. \(-(x^{2}+2x+2)\,e^{-x} + C\)
  5. \(\dfrac{x^{2}\sin 2x}{2} + \dfrac{x\cos 2x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C\)
  6. \(\dfrac{e^{2x}\,(2x^{2}-2x+3)}{4} + C\)
  7. \(-\dfrac{x^{2}\cos 3x}{3} + \dfrac{2x\sin 3x}{9} + \dfrac{2\cos 3x}{27} + C\)
  8. \((x^{2}-4x+4)\,e^{x} + C = (x-2)^{2}e^{x} + C\)
  9. \(x\ln^{2}x - 2x\ln x + 2x + C\)
  10. \(\dfrac{2x^{2}-1}{4}\arcsin x + \dfrac{x\sqrt{1-x^{2}}}{4} + C\)
  11. \(x\arccos x - \sqrt{1-x^{2}} + C\)
  12. \(x\ln(x^{2}+1) - 2x + 2\,\mathrm{arctg}\,x + C\)
  13. \(\dfrac{(x^{2}+1)\,\mathrm{arctg}\,x - x}{2} + C\)
  14. \((x+1)\,\mathrm{arctg}\,\sqrt{x} - \sqrt{x} + C\)
  15. \(2(\sqrt{x}-1)\,e^{\sqrt{x}} + C\)
  16. \(2\sqrt{x}\,\sin\sqrt{x} + 2\cos\sqrt{x} + C\)
  17. \(\dfrac{x^{2}-1}{2}\ln(x+1) - \dfrac{x^{2}}{4} + \dfrac{x}{2} + C\)
  18. \(\dfrac{x^{3}}{3}\,\mathrm{arctg}\,x - \dfrac{x^{2}}{6} + \dfrac{1}{6}\ln(1+x^{2}) + C\)
  19. \(\dfrac{x^{2}}{4} + \dfrac{x\sin 2x}{4} + \dfrac{\cos 2x}{8} + C\)
  20. \(\dfrac{(x^{2}-1)\,e^{x^{2}}}{2} + C\)
Уровень В (№41–50)
  1. \(\dfrac{e^{2x}\,(2\cos 3x + 3\sin 3x)}{13} + C\)  (двукратное интегрирование по частям с одинаковым выбором \(u=e^{2x}\), затем уравнение относительно исходного интеграла)
  2. \(-\dfrac{e^{-x}\,(\sin 2x + 2\cos 2x)}{5} + C\)  (двукратное интегрирование по частям, затем уравнение относительно исходного интеграла)
  3. \(\dfrac{x\,\bigl(\sin(\ln x) - \cos(\ln x)\bigr)}{2} + C\)  (дважды по частям с \(u=\sin(\ln x)\), затем \(u=\cos(\ln x)\); интеграл «зацикливается»)
  4. \(\dfrac{x\,\bigl(\cos(\ln x) + \sin(\ln x)\bigr)}{2} + C\)  (аналогично №43: дважды по частям и уравнение относительно интеграла)
  5. \(\dfrac{e^{x}}{x+1} + C\)
  6. \(2\sqrt{1+x}\,\arcsin x + 4\sqrt{1-x} + C\)
  7. \(\dfrac{x\sqrt{x^{2}+1} + \ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)}{2} + C\)  (по частям, затем уравнение относительно интеграла)
  8. \(x\,\mathrm{tg}\,x + \ln|\cos x| - \dfrac{x^{2}}{2} + C\)
  9. \(x\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr) - \sqrt{x^{2}+1} + C\)
  10. \(\dfrac{x^{3}}{3}\ln^{2}x - \dfrac{2x^{3}}{9}\ln x + \dfrac{2x^{3}}{27} + C\)