Ответы. Интегрирование иррациональных функций

Подготовка к экзамену «Элементы высшей математики» · Вопрос №14 · 50 ответов

Уровень А (№1–20)
  1. \(\arcsin\dfrac{x}{3}+C\)
  2. \(\ln\left|x+\sqrt{x^{2}+16}\right|+C\)
  3. \(\arcsin\dfrac{x}{5}+C\)
  4. \(\ln\left|x+\sqrt{x^{2}-4}\right|+C\)
  5. \(\dfrac{x}{2}\sqrt{1-x^{2}}+\dfrac{1}{2}\arcsin x+C\)
  6. \(\ln\left|x+\sqrt{x^{2}+1}\right|+C\)
  7. \(\dfrac{1}{3}\sqrt{(2x+3)^{3}}+C\)
  8. \(\dfrac{2}{15}\sqrt{(5x-1)^{3}}+C\)
  9. \(\dfrac{2}{3}\sqrt{3x+2}+C\)
  10. Замена \(t=\sqrt{x-2}\): \(\ \dfrac{2}{5}\sqrt{(x-2)^{5}}+\dfrac{4}{3}\sqrt{(x-2)^{3}}+C\)
  11. Замена \(t=\sqrt{x+3}\): \(\ \dfrac{2}{5}\sqrt{(x+3)^{5}}-2\sqrt{(x+3)^{3}}+C\)
  12. Замена \(t=\sqrt{x-1}\): \(\ \dfrac{2}{3}\sqrt{(x-1)^{3}}+2\sqrt{x-1}+C\)
  13. Замена \(t=\sqrt{x}\): \(\ 2\sqrt{x}-2\ln\left(1+\sqrt{x}\right)+C\)
  14. Замена \(t=\sqrt{x}\): \(\ 2\sqrt{x}+2\ln\left|\sqrt{x}-1\right|+C\)
  15. Замена \(t=\sqrt{x}\): \(\ x-2\sqrt{x}+2\ln\left(1+\sqrt{x}\right)+C\)
  16. Замена \(t=\sqrt{x+2}\): \(\ 2\sqrt{x+2}-2\ln\left(\sqrt{x+2}+1\right)+C\)
  17. Замена \(t=\sqrt{x+4}\): \(\ \dfrac{2}{3}\sqrt{(x+4)^{3}}-4\sqrt{x+4}+C\)
  18. Замена \(t=\sqrt{2x+1}\): \(\ \dfrac{1}{6}\sqrt{(2x+1)^{3}}-\dfrac{1}{2}\sqrt{2x+1}+C\)
  19. \(\dfrac{x}{2}\sqrt{9-x^{2}}+\dfrac{9}{2}\arcsin\dfrac{x}{3}+C\)
  20. Замена \(t=\sqrt{x-1}\): \(\ \dfrac{2}{7}\sqrt{(x-1)^{7}}+\dfrac{4}{5}\sqrt{(x-1)^{5}}+\dfrac{2}{3}\sqrt{(x-1)^{3}}+C\)
Уровень Б (№21–40)
  1. Замена \(t=\sqrt[4]{x}\): \(\ 2\sqrt{x}-4\sqrt[4]{x}+4\ln\left(\sqrt[4]{x}+1\right)+C\)
  2. Замена \(t=\sqrt[12]{x}\): \(\ \dfrac{3}{2}\sqrt[3]{x^{2}}-\dfrac{12}{7}\sqrt[12]{x^{7}}+2\sqrt{x}-\dfrac{12}{5}\sqrt[12]{x^{5}}+3\sqrt[3]{x}-4\sqrt[4]{x}+6\sqrt[6]{x}-12\sqrt[12]{x}+12\ln\left(\sqrt[12]{x}+1\right)+C\)
  3. Замена \(t=\sqrt[6]{x}\): \(\ \dfrac{6}{7}\sqrt[6]{x^{7}}-\dfrac{6}{5}\sqrt[6]{x^{5}}+2\sqrt{x}-6\sqrt[6]{x}+6\,\mathrm{arctg}\,\sqrt[6]{x}+C\)
  4. \(3-2x-x^{2}=4-(x+1)^{2}\): \(\ \arcsin\dfrac{x+1}{2}+C\)
  5. \(x^{2}+6x+13=(x+3)^{2}+4\): \(\ \ln\left|x+3+\sqrt{x^{2}+6x+13}\right|+C\)
  6. \(x^{2}-4x+3=(x-2)^{2}-1\): \(\ \ln\left|x-2+\sqrt{x^{2}-4x+3}\right|+C\)
  7. \(5+4x-x^{2}=9-(x-2)^{2}\): \(\ \arcsin\dfrac{x-2}{3}+C\)
  8. Числитель — половина производной трёхчлена: \(\ \sqrt{x^{2}+2x+5}+C\)
  9. Числитель — половина производной трёхчлена: \(\ \sqrt{x^{2}-4x+8}+C\)
  10. Числитель — производная трёхчлена: \(\ 2\sqrt{x^{2}+3x+1}+C\)
  11. \(x=\tfrac12(2x+2)-1\): \(\ \sqrt{x^{2}+2x+2}-\ln\left|x+1+\sqrt{x^{2}+2x+2}\right|+C\)
  12. \(1-x-x^{2}=\tfrac54-\left(x+\tfrac12\right)^{2}\): \(\ \arcsin\dfrac{2x+1}{\sqrt{5}}+C\)
  13. Замена \(t=\sqrt{x+4}\): \(\ \dfrac{2}{3}\sqrt{(x+4)^{3}}-8\sqrt{x+4}+C\)
  14. Замена \(t=\sqrt{x-1}\): \(\ \dfrac{2}{5}\sqrt{(x-1)^{5}}+\dfrac{4}{3}\sqrt{(x-1)^{3}}+2\sqrt{x-1}+C\)
  15. Замена \(t=\sqrt{x+1}\): \(\ \ln\left|\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1}\right|+C\)
  16. Замена \(t=\sqrt{x}\): \(\ 2\,\mathrm{arctg}\,\sqrt{x}+C\)
  17. Замена \(t=\sqrt{x+1}\): \(\ 2\sqrt{x+1}+\ln\left|\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1}\right|+C\)
  18. Замена \(t=\sqrt[3]{x+1}\): \(\ \dfrac{3}{5}\sqrt[3]{(x+1)^{5}}-\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{(x+1)^{2}}+C\)
  19. Замена \(t=\sqrt{2x+1}\): \(\ \sqrt{2x+1}-\ln\left(1+\sqrt{2x+1}\right)+C\)
  20. Замена \(t=\sqrt{x}\): \(\ -x+4\sqrt{x}-4\ln\left(1+\sqrt{x}\right)+C\)
Уровень В (№41–50)
  1. Подстановка \(x=2\sin t\): \(\ \dfrac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}}+2\arcsin\dfrac{x}{2}+C\)
  2. Подстановка \(x=\sin t\): \(\ \dfrac{1}{2}\arcsin x-\dfrac{x}{2}\sqrt{1-x^{2}}+C\)
  3. Подстановка \(x=\mathrm{tg}\,t\): \(\ -\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}+C\)
  4. Подстановка \(x=2\sin t\): \(\ -\dfrac{\sqrt{4-x^{2}}}{4x}+C\)
  5. Подстановка \(x=\sin t\): \(\ -\dfrac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}-\arcsin x+C\)
  6. Подстановка \(x=\mathrm{tg}\,t\): \(\ \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}+C\)
  7. \(\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}=\dfrac{1-x}{\sqrt{1-x^{2}}}\): \(\ \arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}+C\)
  8. \(\sqrt{\dfrac{2+x}{2-x}}=\dfrac{2+x}{\sqrt{4-x^{2}}}\): \(\ 2\arcsin\dfrac{x}{2}-\sqrt{4-x^{2}}+C\)
  9. Подстановка \(x=\dfrac{1}{\cos t}\): \(\ \arccos\dfrac{1}{|x|}+C\)
  10. Подстановка \(x=\dfrac{3}{\cos t}\): \(\ \sqrt{x^{2}-9}-3\,\mathrm{arctg}\,\dfrac{\sqrt{x^{2}-9}}{3}+C\)